Question

Analise as integrais abaixo e as respostas indicadas:

I. $\int\limits{ \sqrt{2x-1} } \, dx = \frac{1}{3} ( 2x-1)^{3/2} +c$

II. $\int\limits{3x^2 \sqrt{ x^{3} -2} } \, dx = ( \frac{ x^{3} -2}{3/2} )^{3/2} +c$

III. $\int\limits { \frac{-4x}{(1-2 x^{2} )^2} } \, dx = \frac{-1}{(1-2 x^{2} )} +c$


A. Somente a alternativa I é verdadeira.
B. Somente a alternativa II é verdadeira.
C. Somente as alternativas II e III são verdadeiras.
D. Todas as alternativas são verdadeiras.

Answer 1

Olá
I)
$\int\limits \sqrt{2x-1} \, dx$

sabe-se que $\sqrt{a} = a^{ \frac{1}{2} }$ usamos essa propriedade

$\int\limits( 2x-1)^{ \frac{1}{2} } \, dx$

por substituição temos.

seja . ---------------> u=2x-1
derivada de      du/dx= 2==>du/2=dx

substituindo temos.

$\int\limits u^{ \frac{1}{2} } \, \frac{du}{2} --\ \textgreater \ sacando..fora ( \frac{1}{2} )..temos. \\ \\ \frac{1}{2} \int\limits u^{ \frac{1}{2} } \, dx --\ \textgreater \ integrando ..temos \\ \\ \frac{1}{2} \frac{ u^{ \frac{3}{2} } }{ \frac{3}{2} } +C \\ \\ \frac{ u^{3/2} }{3} --\ \textgreater \ temos[u=2x-1], substituindo..temos \\ \\ \frac{1}{3} ( 2x-1)^{3/2} +C -----\ \textgreater \ verdadeiro$

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II)

$\int\limits3 x^{2} \sqrt{ x^{3}-2 } \, dx$

primeiro sacamos fora o (3) assim.

$3\int\limits (\sqrt{ x^{3} -2} ) x^{2} \, dx$

seja  ------------->v=x³-2
derivada de --->dv/dx=3x²==>dv/3=x²dx

substituindo temos.

$3 \int\limits \sqrt{v} \, \frac{dv}{3} --\ \textgreater \ sacando...o..denominador..3..fora.temos. \\ \\ \frac{3}{3} \int\limits v^{1/2} \, dv --\ \textgreater \ integrando..temos \\ \\ \frac{ v^{3/2} }{3/2} +C--\ \textgreater \ temos[ v= x^{3} -2],substituindo. \\ \\ \frac{( x^{3} -2)^{3/2} }{3/2} +C---\ \textgreater \ falso$

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III)$\int\limits \frac{-4x}{(1-2 x^{2}) ^{2} } \, dx --\ \textgreater \ sacamos ..fora (-4)..temos. \\ \\ -4 \int\limits \frac{1}{(1-2 x^{2} ) ^{2} } x \, dx$

seja  ------------------->z= 1-2x²
derivando  ---------->dz/dx=-4x==>dz/-4=xdx

Substituindo temos.
$-4 \int\limits \frac{1}{z^{2} } \, \frac{dz}{-4} --\ \textgreater \ sacamos ..fora..o..denominador(-4)..temos. \\ \\ \frac{-4}{-4} \int\limits \frac{1}{ z^{2} } \, dz \\ \\ \int\limits z^{-2} \, dz--\ \textgreater \ integrando..temos. \\ \\ \frac{ z^{-1} }{-1} +C \\ \\ -\frac{1}{ z } +C--\ \textgreater \ temos[z=1-2 x^{2} ]substituindo..temos. \\ \\ \frac{-1}{1-2 x^{2} } +C$

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                                     espero ter ajudado!!