Question

Ana maria conta o numero de sinais no seu rosto desde que tinha 6 anoa,quando o numero de sinais era 3. hoje, com 21 anos, Ana tem 192 sinais. se admitirmos que onumero de sinais no rosto de Ana cresceu segundo uma progressão geometrica, quantos sinais ana apresentava aos 16 anos de idade?

Answer 1

Resposta:

Anos.. - 6______________________21

Pintas - 3_____________________192

21-6 = 15 intervalos, 16 termos

192/3 = 64 razão entre an e a1

an = a1*q^(n-1)

192 = 3*q^(16-1)

192 = 3*q^15

q^15 = 192/3 = 64

Como é pedido quantos sinais ela tinha aos 16 anos, podemos dividir o espaço dos anos em 3 períodos de 5 anos cada um:

6 - 11

11 - 16

16 - 21

Dividindo-se o exponte 15 (de q^15) em 3 partes, cada parte fica com q^5.

PG..... = 3............ 3.q^5 ......... 3.q^10 ........ 3.q^15

Anos.. = 6 .............. 11 .............. 16 ................. 21

Pintas = 3 ................ x ................ y .................192

q^15 = 64

q^15 = 2^6 → simplificando por 3 os expoentes, obtém-se:

q^5 = 2^2 = 4

O valor que procuramos é "y", correspondente à quant. de pintas aos 16 anos.

Fazendo uma regra de três, vem:

3.q^10 — 3.q^15

y ........ — 192

Como q^5=4, vem:

q^10 = (q^5)² = 4² = 16

q^15 = (q^5)³ = 4³ = 64

E nossa regra de três, fica:

3.16 — 3.64

y .... — 192

y = (3.16 . 192)/3.64

y = 48.192/192

y = 48 pintas

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Ana apresentava 48 sinais aos 16 anos de idade.

Progressão geométrica - PG

Fórmula da PG:

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

Em que:

• n representa a posição na qual um dado elemento da PG se encontra;

• aₙ representa o valor correspondente à posição n da PG;

• a₁ representa o valor correspondente à posição 1 da PG;

• q representa a razão da progressão geométrica, que vem a ser o valor multiplicado de um elemento da progressão para outro.

Dados do enunciado:

• n = 16;

• aₙ = 192;

• a₁ = 3;

• q = ?

Substituindo na fórmula os dados do enunciado para obter a razão da PG:

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

192 = 3 · q¹⁵

q¹⁵ = 192/3

q¹⁵ = 64

q = $\sqrt[15]{64}$

Da mesma forma, usando a razão para determinar o elemento que representa o número de sinais que Ana apresentava aos 16 anos de idade:

aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹

a₁₁ = 3 ·  $\sqrt[15]{64}^{10$

a₁₁ = 3 ·  $\sqrt[3]{64^2}$

a₁₁ = 3 ·  $\sqrt[3]{64^2}$

a₁₁ = 3 · 16

∴ a₁₁ = 48

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