Question

Ana, estudando para a prova, encontra a figura a seguir e relaciona com uma das leis de Kepler. A figura mostra
um planeta de raio R e dois satélites A e B que orbitam em torno desse planeta. A distância do satélite A à
superfície do planeta é 2R e a distância da órbita do satélite A ao satélite B é 3R.

(Anexo)

Answer 1

As leis de Kepler descrevem os movimentos dos planetas ao redor do Sol e de satélites ao redor de planetas.

Terceira lei de Kepler ou Lei dos períodos:

Para qualquer planeta do Sistema Solar, quadrado do período de revolução (ou translação), $\boldsymbol{ \textstyle \sf T^2 }$, em torno do Sol o quociente do cubo do raio médio da órbita, $\boldsymbol{ \textstyle \sf R^3 }$.

$\boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \dfrac{T^2}{R^3} = constante }}$

Dados fornecidos pelo enunciado:

Analisando a figura em anexo do enunciado. temos:

$\displaystyle \sf \begin{cases} \sf {\text{\sf planeta A }} \to \dfrac{T_A^2}{(R + 2R)^3} \\ \\ \sf {\text{\sf planeta B }} \to \dfrac{T_B^2}{(R + 2R+ 3R)^3} \\\\\sf {\text{\sf Raz{\~a}o }} \to \dfrac{T_A}{T_B} = \:? \end{cases}$

Aplicando  a Terceira lei de Kepler, temos:

$\displaystyle \sf {\text{\sf Planeta A }} = \displaystyle \sf {\text{\sf Planeta B }}$

$\displaystyle \sf \dfrac{T_A^2}{(3R)^3} = \dfrac{T_B^2}{(6R)^3}$

$\displaystyle \sf \left( \dfrac{T_A}{T_B} \right)^2 = \left( \dfrac{ \diagup\!\!\!{ 3\:^1} \diagup\!\!\!{R } }{\diagup\!\!\!{ 6\:^2} \diagup\!\!\!{R }} \right)^3$

$\displaystyle \sf \left( \dfrac{T_A}{T_B} \right)^2 = \left( \dfrac{ 1 }{2} \right)^3$

$\displaystyle \sf \left( \dfrac{T_A}{T_B} \right)^2 = \dfrac{1}{2^3}$

$\displaystyle \sf \dfrac{T_A}{T_B} = \sqrt{ \dfrac{1}{2^3} }$

$\displaystyle \sf \dfrac{T_A}{T_B} = \sqrt{ \dfrac{1}{2^2 \cdot 2} }$

$\displaystyle \sf \dfrac{T_A}{T_B} = \dfrac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{2^2 \cdot 2} }$

$\displaystyle \sf \dfrac{T_A}{T_B} = \dfrac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2} }$

$\displaystyle \sf \dfrac{T_A}{T_B} = \dfrac{1}{2 \cdot \sqrt{2} }$

$\displaystyle \sf \dfrac{T_A}{T_B} = \dfrac{1}{2 \cdot \sqrt{2} } \cdot \dfrac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} }$

$\displaystyle \sf \dfrac{T_A}{T_B} = \dfrac{ \sqrt{2} }{2 \cdot \sqrt{4} }$

$\displaystyle \sf \dfrac{T_A}{T_B} = \dfrac{ \sqrt{2} }{2 \cdot 2 }$

$\boxed{ \boxed { \boldsymbol{\displaystyle \sf \dfrac{T_A}{T_B} = \dfrac{\sqrt{2} }{4 } }}}$

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