Question

Algumas somas de infinitos números podem resultar em um resultado finito (um número inteiro), quando os termos dessa soma formam uma P.G. de razão menor que 1. Responda quando vale S = 1 + 1/2 + 1/4 + ....

2
2,5
4,5
8

Answer 1

Resposta:

2

Explicação passo a passo:

Sendo uma PG, para acharmos a razão basta dividir um termo pelo anterior, ou seja: $\frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} =\frac{1}{2}$

Logo, a razão é $\frac{1}{2}$.

Fórmula da soma dos termos de uma PG finita:

$S_n = \frac{a_1.(1-q^n)}{1-q}$

Quando a razão é um número entre 0 e 1, como nesse caso, a soma dos termos converge para um número finito, embora a PG seja infinita.

Isso porque nesse $q^n$ tende a zero quando o n é infinito, ou seja $(\frac{1}{2})^{\infty} = 0$.

Então a fórmula fica apenas:

$S_n = \frac{a_1.(1-0)}{1-q} = \frac{a_1}{1-q} \\\\S_n = \frac{a_1}{1-q} \ (Soma \ dos \ termos \ da \ PG \ infinita \ de \ razao \ entre \ 0 \ e \ 1)$

Então basta aplicar a fórmula

$S_n = \frac{a_1}{1-q} \\\\S_n = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} \\\\S_n = \frac{1}{\frac{1}{2}} \\\\S_n = 2$