Question

Alguém sabe me explicar a indução matemática?
Eu entendo que há a hipótese,tese mas o que faço na demonstração?
Tenho que demonstrar a tese ou a hipótese..?? Alguém podia me ajudar dando exemplos também muito obrigado ^^

Answer 1

A prova por indução funciona assim:

Seja $T$ um teorema que desejamos provar por indução sobre os naturais.


$\bullet~~$ Dado um $n_0\in\mathbb{N},$ verifica-se que vale $T(n_0).$ (Caso base)

$\bullet~~$ Supõe que $T(n)$ vale para algum $n>n_0.$ (Esta é a hipótese de indução)

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Dada as duas condições acima, basta provar que vale $T(n+1).$

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Resumindo,

$\bullet~~$ Verifica que vale $T(n_0);$

$\bullet~~$ Provar que se $T(n),$ então $T(n+1);$ para todo $n>n_0.$

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Exemplo (fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética particular)

Provar por indução que para todo $n\ge 1,$

$1+2+3+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}~~~~~\text{(Este \'e o teorema }T(n)\text{)}$


$\bullet~~$ Verificando que vale $T(1):$

$1=\dfrac{1(1+1)}{2}~~~~~(\checkmark)$

$\bullet~~$ Supondo, por hipótese de indução, que vale $T(n),$ para $n>1.$

$1+2+3+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}~~~~~\text{(hip\'otese de indu\c{c}\~ao)}$


Verificando $T(n+1):$

$1+2+3+\ldots+n+(n+1)\\\\ =(1+2+3+\ldots+n)+(n+1)$


Na última igualdade acima, utilizaremos de fato a hipótese de indução. Este é o chamado passo indutivo:

$=\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1)\\\\\\ =\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{2(n+1)}{2}\\\\\\ =\dfrac{n(n+1)+2(n+1)}{2}\\\\\\ =\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}\\\\\\ =\dfrac{(n+1)[(n+1)+1]}{2}\\\\\\ \therefore~~1+2+3+\ldots+n+(n+1)=\dfrac{(n+1)[(n+1)+1]}{2}~~~~~~(T(n+1)~~\checkmark)$


Logo, vale $T(n+1).$ Portanto a fórmula é verdadeira para todo $n$ natural $\ge 1.$