Question

Alguém sabe a derivada de raíz quadrada de 2x-1/ x, usando a definição de derivada?

Answer 1

$y' = \frac{\sqrt{2x-1} }{x}$

           utilizando a regra do quociente

                       $( \frac{u}{v})^{2} = \frac{vu'-uv'}{v^{2}}$ (onde u e v são funções de x)
                     

$y' = \frac{x.(\sqrt{2x-1})'-(\sqrt{2x-1}).x' }{x^{2}}$

           aplicando a regra de diferenciação

                       $(x^{n})'= n.x^{n-1}$, ∀ n ∈ Q

           e a regra da cadeia

                       Quando $y = u^{m}$ e $u = f(x)$,
                           $y' = m.u^{m-1}.u'$


$y'=\frac{x.((2x-1)^{\frac{1}{2}})' -(\sqrt{2x-1}).x' }{x^{2}}$

$=\frac{x.\frac{1}{2}.(2x-1)^{-\frac{1}{2}}.(2x-1)' - (\sqrt{2x-1}).1 }{x^{2}}$

$=\frac{\frac{1}{2 .(2x-1)^{\frac{1}{2}}}.2x - \sqrt{2x-1}}{x^{2}}$

$= \frac{\frac{1}{2 . \sqrt{2x-1} }.2x - \sqrt{2x-1}}{x^{2}}$

$= \frac{\frac{2x}{2 . \sqrt{2x-1} } - \sqrt{2x-1}}{x^{2}}$

$= \frac{\frac{x}{ \sqrt{2x-1} } - \sqrt{2x-1}}{x^{2}}$

$= \frac{\frac{x}{ \sqrt{2x-1} } - \frac{(\sqrt{2x-1})^{2}}{\sqrt{2x-1}} }{x^{2}}$

$= \frac{\frac{x-(2x-1)}{\sqrt{2x-1}} }{x^{2}}$

$= \frac{\frac{-x+1}{\sqrt{2x-1}} }{x^{2}}$

$= \frac{-x+1}{\sqrt{2x-1}} }.{ \frac{1}{ x^{2}}$

$=- \frac{x-1}{x{^2}.\sqrt{2x-1}} }$