Question

Alguém por favor me ajuda com essa questão

Answer 1

Encontrando o valor de p:

$\sqrt{9^{p+1} } = 3^{\sqrt{2} } \\\\ {(3^2)}^{{ p+1 \over 2} } = 3^{ \sqrt{2}} \\\\ 3^{ {2p+2 \over 2} } = 3^{\sqrt{2}} \\\\ { 2p + 2 \over 2 } = \sqrt{2} \\\\ p +1 = \sqrt{2} \\\\ p = \sqrt{2} -1$

____________

Encontrando o valor de q:

$log_2(q -1 ) = { 1 \over 2} \\\\ q-1 = 2^{ {1 \over 2}} \\\\ q - 1 = \sqrt{2} \\\\ q = \sqrt{2} + 1$
_____________

→ Substituindo os valores encontrados na equação:

*Esse produto notável será útil, destaquei em negrito.

( a - b )( a + b ) = a² - b²

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$p^2 + pq + q^2 \\\\ ( \sqrt{2} -1 )^2 + \mathbf{( \sqrt{2} -1 ) ( \sqrt{2} + 1 )} + ( \sqrt{2} + 1)^2 \\\\ 2 - 2\sqrt{2} + 1 + 2 - 1 + 2 + 2\sqrt{2} + 1 \\\\ \boxed{ 2 + 1 + 2 - 1 + 2 + 1 = 7}$

___________

→ Resposta: $\boxed{ \mathbf{ Letra \: d) } }$

Answer 2

Olá.

$\sqrt{ {9}^{p + 1} } = {3}^{ \sqrt{2} } \\ \\ {9}^{ \frac{p + 1}{2} } = {3}^{ \sqrt{2} } \\ \\ {3}^{ {2}^{\frac{p + 1}{2} } } = {3}^{ \sqrt{2} } \\ \\ \frac{2p + 2}{2} = \sqrt{2} \\ \\ 2p + 2 = 2 \sqrt{2} \\ \\ 2p = 2 \sqrt{2} - 2 \\ \\ p = \frac{2 \sqrt{2} - 2 }{2}$

Agora a outra:


$log_{2}(q - 1) = \frac{1}{2} \\ \\ {2}^{ \frac{1}{2} } = q - 1 \\ \\ \sqrt{2} = q - 1 \\ \\ q = \sqrt{2} + 1$



Expressão:

${p}^{2} = \\ \\ \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2} \times \frac{2 \sqrt{2} - 2 }{2} = \\ \\ \frac{4 \times 2 - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4}{4} = \\ \\ \frac{8 - 8 \sqrt{2} + 4 }{4} = \\ \\ \frac{12 - 8 \sqrt{2} }{4}$


$p \times q = \\ \\ ( \frac{2 \sqrt{2} - 2 }{2} ) \times( \sqrt{2} + 1) = \\ \\ \frac{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - 2 }{2} = \\ \\ \frac{2}{2} = 1$

${q}^{2} = \\ \\ ( \sqrt{2} + 1) \times( \sqrt{2} + 1) = \\ \\ 2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1 = \\ \\ 3 + 2 \sqrt{2}$


Calculando:

$( \frac{12 - 8 \sqrt{2} }{4} ) + 1 + 3 + 2 \sqrt{2} = \\ \\ ( \frac{12 - 8 \sqrt{2} }{4} + (4 + 2 \sqrt{2} ) = \\ \\ ( \frac{12 - 8 \sqrt{2} + 16 }{4} ) + 2 \sqrt{2} = \\ \\ (\frac{28 - 8 \sqrt{2} }{4}) + (2 \sqrt{2} ) = \\ \\ \frac{28 - 8 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} }{4} = \\ \\ \frac{28}{4} = \\ \\ 7$


RESPOSTA: LETRA D.