Question

Alguem poderia responder pra mim esta questão e me explicar o que seria um teorema do confronto

Answer 1

Boa tarde Jailson!


Solução!

Teorema do Confronto ou do sanduíche!

 

Se não pudermos obter o limite diretamente, talvez possamos obtê-lo indiretamente com o teorema do confronto. O teorema se refere a uma função f cujos valores estão limitados entre os valores de outras duas funções, g e h. Se g e h tiverem o mesmo limite quando $x\rightarrow c$  , então  $f$ também terá esse limite.

Imagine  que  $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ para qualquer x em um intervalo de aberto contendo $c$.

Com base no teorema podemos resolver o exercício. 

$A)\\\\\\\\ \displaystyle \lim_{x \to 0} ,em~~que~~|f(x)| \leq x^{2}\\\\\\\ Fazendo!\\\\\\\\ g(x)=- x^{2} \\\\\\ f(x)=|f(x)|\\\\\\\\ h(x)= x^{2} \\\\\\\\ logo!\\\\\\\ g(x) \leq f(x) \leq h(x)\\\\\\\\ - x^{2} \leq |f(x)| \leq x^{2}$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} - x^{2} =- 0^{2} =0\\\\\\ \displaystyle \lim_{x \to 0} x^{2} = 0^{2} =0\\\\\\\\ Como~~as~~func\~oes~~g(x) ~~e~~h(x)~~tendem~~a~~zero~~concluimos ~~que\\\\\ a~~func\~ao~~f(x)~~que~~esta~~centrada~~em~~g(x)~~e~~h(x)\\\\\ tambem~~tende~~a~~zero.Ent\~ao!\\\\\\\\ \boxed{Resposta \displaystyle\lim_{x \to 0} |f(x)|=0}$

$B)\\\\\\\ \displaystyle\lim_{x \to 0} x^{2} \bigg|Sen \frac{1}{x}\bigg| \\\\\\\\ Lembrando~~da~~imagem~~de~~Senx~~[-1,1]\\\\\\ Mesmo~~raciocinio!\\\\\\\ -1. x^{2} \leq x^{2} f(x)| \leq x^{2} \\\\\\\\\ -x^{2} \leq x^{2} \bigg|Sen \frac{1}{x}\bigg| \leq x^{2}$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} - x^{2} = -(0)^{2} =0\\\\\\\ \displaystyle \lim_{x \to 0} x^{2} = (0)^{2} =0\\\\\\\ Logo!$

$\boxed{Resposta:\displaystyle\lim_{x \to 0} x^{2} \bigg| Sen \frac{1}{x} \bigg | =0} }$

Boa tarde!

Bons estudos!