Question

Alguém poderia me explicar?

Se $\frac{a}{b} = \frac{1}{9}$ e $\frac{b}{c} = \frac{1}{3}$,
então $\frac{b-a}{c-b}$ é

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se a seguinte questão:

Sabendo-se que a/b = 1/9 e que b/c = 1/3, pede-se para determinar o valor da expressão (que vamos chamá-la de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa):

y = (b-a)/(c-b)  <--- Esta é a expressão cujo valor é pedido para determinar, tendo-se as informações acima, ou seja, de que: a/b = 1/9 e que b/c = 1/3.

Bem, agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) a/b = 1/9 ----- se considerarmos b ≠ 0, então podemos multiplicar em cruz, ficando:

9*a = 1*b
9a = b ----- vamos apenas inverter, ficando:
b = 9a       . (I)

ii) b/c = 1/3 ---- se considerarmos c ≠ 0, poderemos multiplicar em cruz, ficando:

3*b = 1*c
3b = c ---- ou, invertendo-se, ficaremos:
c = 3b ----- mas como já vimos que b = 9a, conforme a expressão (I) acima, então vamos substituir "b" por esse valor, com o que ficaremos assim:

c = 3*9a
c = 27a      . (II)

iii) Bem, agora vamos trabalhar novamente com as proporções dadas e vamos aplicar algumas propriedades. As proporções dadas são estas:

iii.1)  a/b = 1/9 ---- aplicando-se uma das propriedades das proporções, poderemos fazer assim:

(a-b)/b = (1-9)/9
(a-b)/b = (-8)/9 --- ou apenas:
(a-b)/b = - 8/9 ---- se multiplicarmos ambos os membros por "-1", ficaremos:
(b-a)/b = 8/9  ----- mas como já vimos que b=9a, então, para facilitar, vamos substituir "b" por esse valor, apenas no denominador da fração acima, ficando:

(b-a)/9a = 8/9      . (III)

iii.2) b/c = 1/3 ----- aplicando a mesma propriedade utilizada anteriormente, teremos:

(b-c)/c = (1-3)/3
(b-c)/c = (-2)/3 ---- ou apenas:
(b-c)/c = - 2/3 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", ficaremos:
(c-b)/c = 2/3 ----- mas já vimos, conforme a expressão (II), que c = 27a. Então, para facilitar, vamos fazer a devida substituição também apenas no denominador, a exemplo do que fizemos no item anterior. Assim, ficaremos:

(c-b)/27a = 2/3      . (IV)

iv) Agora vamos dividir as expressões (III) e (IV), ou seja, vamos dividir, membro a membro,  a expressão (III) pela expressão (IV), com o que ficaremos assim:

(b-a)/9a = 8/9 ---- [esta é a expressão (III) normal]
(c-b)/27a = 2/3 --- [esta é a expressão (IV) normal]
------------------------------------- dividindo membro a membro, ficaremos:
[(b-a)/9a]/[(c-b)/27a] = (8/9)/(2/3) --- veja: temos aqui uma divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Assim:

[(b-a)/9a]*[27a/(c-b)] = (8/9)*(3/2) ---- efetuando os produtos indicados, temos:
[(b-a)*27a] / [9a*(c-b)] = 8*3/9*2 ---- ou, o que é a mesma coisa:
27a*(b-a) / 9a*(c-b) = 24/18 ---- note que 27a/9a = 3. Assim, ficaremos com:
3*(b-a)/(c-b) = 24/18 ------ isolando (b-a)/(c-b), teremos:
(b-a)/(c-b) = 24/18*3
(b-a)/(c-b) = 24/54 ---- dividindo-se numerador e denominador por "6", ficaremos apenas com:

(b-a)/(c-b) = 4/9 <--- Esta é a resposta. Opção "D".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.