Question

Alguém poderia me ajudar nessa questão de integral?

Answer 1

Resposta:

$\sf A=\displaystyle\int^{\sf\sqrt{2}}_{\sf0}\sf[(-\,x^2+4)-x^2]\,dx$

$\sf A=\displaystyle\int^{\sf\sqrt{2}}_{\sf0}\sf(-\,2x^2+4)\,dx$

Pelo teorema fundamental do cálculo, no qual

$\boxed{\sf \displaystyle\int^{\sf b}_{\sf a}\sf f(x)\,dx=\bigg[F(x)\bigg]^b_a=F(b)-F(a)}$

, segue que:

$\sf A=\bigg[\displaystyle\int\sf(-\,2x^2+4)\,dx\bigg]^{\sf\sqrt{2}}_{\sf0}$

A integral de uma função f(x) resulta numa outra função F(x), na qual uma vez derivada retorna para f(x). Então a integração nada mais é do que o processo inverso da derivação. Assim sendo:

$\sf A=\bigg[-\displaystyle\int\sf2x^2\,dx+\displaystyle\int\sf4\,dx\bigg]^{\sf\sqrt{2}}_{\sf0}$

$\sf A=\bigg[-\dfrac{2x^3}{3}+4x\bigg]^{\sf\sqrt{2}}_{\sf0}$

Pois:

$\sf \bigg(\dfrac{2x^3}{3}\bigg)'=\dfrac{3\cdot2x^{3-1}}{3}=2x^2$

$\sf(4x)'=4$

Prosseguindo ao teorema:

$\sf A=\bigg[-\dfrac{2(\sqrt{2})^3}{3}+4(\sqrt{2})\bigg]-\bigg[-\dfrac{2(0)^3}{3}+4(0)\bigg]$

$\sf A=\bigg[-\dfrac{2(2\sqrt{2})}{3}+4\sqrt{2}\bigg]-\bigg[-\dfrac{2(0)}{3}+0\bigg]$

$\sf A=\bigg[-\dfrac{4\sqrt{2}}{3}+4\sqrt{2}\bigg]-\bigg[-\dfrac{0}{3}\bigg]$

$\sf A=\bigg[-\dfrac{4\sqrt{2}}{3}+\dfrac{12\sqrt{2}}{3}\bigg]-0$

$\sf A=\dfrac{12\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{3}$

$\red{\sf A=\dfrac{8\sqrt{2}}{3}~u.a.}$

Que é aproximadamente 3,77.