Question

Alguém poderia me ajudar nessa questão?
Calcule a integral ∬ (2.x .y ) dA , onde R é o triângulo limitado pelas retas y = 0; y =x ; e a reta x+y = 2.

Answer 1

Primeiro vamos calcular os vértices do triângulo:

As retas y = 0 e y = x se encontram no ponto (0,0)

As retas y = 0 e x+y =2 se encontram em (2,0)

As retas y = x e x+y =2 se encontram em (1,1)

(Recomendo fazer um desenho)

Agora vamos descrever essa região de integração. Observamos que de todos esses pontos da região, o maior valor possível para y é 1 e o menor é 0. Ou seja, 0 ≤ y ≤ 1. Depois disso, escolhido um valor para y, a figura está contida entre as curvas y=x e x+y =2. Ou seja, y ≤ x ≤ 2-y. Assim a região de integração é:

R = { (x,y);  0 ≤ y ≤ 1 e y ≤ x ≤ 2-y }

Portanto, pelo teorema de Fubini a integral vira:

$\displaystyle \iint_R 2xy \, dA = \int_0^1 \int_y ^{2-y} 2xy \, dxdy$

A primeira integral é em x, daí sua primitiva é x²y. Assim temos:

$\displaystyle \iint_R 2xy \, dA = \int_0^1 x^2y\Big|_{x=y} ^{x=2-y} \, dy = \int_0^1 y((2-y)^2 - y^2) \, dy = \int_0 ^1 4y - 4y^2 \, dy$

Resolvendo a segunda, obtemos:

$\displaystyle \iint_R 2xy \, dA = 2y^2 - \dfrac{4y^3}3 \Bigg|_{y=0}^{y=1} \Rightarrow \boxed{\iint_R 2xy \, dA = \dfrac 23}$