Question

Alguém poderia me ajudar nessa questão 6 de cálculo??

Answer 1

Temos que pensar em uma função f com uma assíntota vertical no x = 0 e duas assíntotas horizontais no y = 5 e y = -5.

Para começar, poderia pensar na função de 1/x, mas essa função não tem limite definido no x = 0, pois seus limites laterais são divergentes. Então, poderíamos tentar mudar isso para que no x = 0 tenha limite defino e que seja -inf, ficando f deste modo

$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} -\displaystyle\frac{1}{x}, x\geq 0 \\\\ \displaystyle\frac{1}{x}, x<0 \end{array}\right.$

Com isso, essa função tem limite no 0 igual a -inf, mas os limites no inf e -inf não estão de acordo com o exercício, então podemos transladar o gráfico verticalmente para obter a função desejada

$f(x)=\left\{ \begin{array}{l} -\displaystyle\frac{1}{x}-5, x\geq 0 \\\\ \displaystyle\frac{1}{x}+5, x<0 \end{array}\right.$

Provando que a função está correta:

$\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} -\frac{1}{x}-5 = -\infty-5 = -\infty\\\\\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}+5 = -\infty+5 = -\infty\\\\\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty \rightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = -\infty$

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x}+5=0+5=5\\\\\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x}-5=-0-5=-5$

Portanto, a função f acima é um exemplo que se encaixa perfeitamente nos itens solicitados no exercício e seu gráfico é esse abaixo.