Question

ALGUÉM PODERIA ME AJUDAR COM A RESOLUÇÃO POR FAVOR. SE NÃO SOUBER COM A RESOLUÇÃO DA CONTA NEM TENTE ME AJUDAR. OBRIGADA.

Considere o número

alfa= 1+4/10 +1/10^2 + 1/10^3 + 1/10^4 +...
Se ele for racional, coloque-o na forma de fraçao irredutível.

a)127/90 resposta certa
b)12/90
c)132/990
d)11/99
e)141/990

Answer 1

Temos:

$\displaystyle \alpha = 1 + \frac{4}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} + \frac{1}{10^4} + \cdots$

$\displaystyle \alpha = \frac{10}{10} + \frac{4}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} + \frac{1}{10^4} + \cdots$

$\displaystyle \alpha = \frac{14}{10} + \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} + \frac{1}{10^4} + \cdots$

A seguinte parte:

$\displaystyle \frac{1}{10^2} + \frac{1}{10^3} + \frac{1}{10^4} + \cdots$

Constitui uma P.G. infinita de razão ⅒ cuja soma pode ser definida com a seguinte expressão:

$\displaystyle S_{infinita} = \frac{a_1}{1-q}$

Em que a₁ é seu primeiro termo e q é sua razão. Dessa forma:

$\displaystyle S_{infinita} = \frac{\frac{1}{100}}{1- \frac{1}{10}}$

$\displaystyle S_{infinita} = \frac{\frac{1}{100}}{\frac{10}{10} - \frac{1}{10}}$

$\displaystyle S_{infinita} = \frac{\frac{1}{100}}{\frac{9}{10}}$

$\displaystyle S_{infinita} = \frac{1}{100} \cdot \frac{10}{9}$

$\displaystyle S_{infinita} = \frac{1}{90}$

Finalmente:

$\displaystyle \alpha = \frac{14}{10} + \frac{1}{90}$

$\displaystyle \alpha = \frac{126}{90} + \frac{1}{90}$

$\displaystyle \alpha = \frac{127}{90}$

O valor ⍺ é um número racional pois sua divisão resulta numa dízima periódica.

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