Question

Alguém poderia me ajudar a resolver essa questão?!

Encontre a solução geral para a equação xy' + y = -xy² .

Answer 1

1) [EDO- Bernoulli] Cambio de variable $z=y^{1-2}\to y=z^{-1}\to dy=-z^{-2}dz$

2) sustitución:
           $x\cdot\dfrac{-z^{-2}dz}{dx}+z^{-1}=-x(z^{-2})\\ \\ x\cdot\dfrac{dz}{dx}-z=x\\ \\ \boxed{\dfrac{dz}{dx}-\dfrac{1}{x}z=1}$

3) Factor integrante (FI)
           $\displaystyle FI=\exp\left(\int -\dfrac{1}{x}dx\right)=\dfrac{1}{x}$

4) multiplicando a la EDO en (2) por FI

           $\dfrac{1}x\left(\dfrac{dz}{dx}-\dfrac{1}{x}z\right)=\dfrac{1}x\\ \\ \dfrac{1}x\cdot \dfrac{dz}{dx}-\dfrac{1}{x^2}z=\dfrac{1}x\\ \\ \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{z}{x}\right)=\dfrac{1}x\\ \\ \displaystyle \dfrac{z}{x}=\int \dfrac{1}{x}\;dx\\ \\ \dfrac{z}{x}=\ln |x|+C\\ \\ \boxed{z=x\ln |x|+Cx}$

5) Re-sustituyendo...

                $y^{-1}=x\ln |x|+Cx\\ \\ \\ \boxed{y=\dfrac{1}{x\ln |x|+Cx}}$