Question

Alguem pode resolver estas imagens para min?

Answer 1

1)

a) $4m+n=8$

Dada uma equação diofantina linear, $ax+by=c$, com $a, b, c\in\mathbb{Z}$, se $(x_0, y_0)$ é uma solução particular, as soluções gerais são da forma $x=x_0+bt$ e $y=y_0-at$, com $t\in\mathbb{Z}$.

Neste caso, uma solução particular é $(m_0, n_0)=(1, 4)$.

Com isso, as soluções gerais são da forma:

$\rhd$ $m=1+t$

$\rhd$ $n=4-4t$

Tomando $t=1$, obtemos $(m, n)=(2, 0)$ e encontramos outro
par ordenado que satisfaz a equação dada.

Para $t=2$, temos $(m, n)=(3, -4)$ e assim por diante.

Podemos escrever os pares:

$(m, n)=(1,4),(2,0),(3,-4),(4,-8),(5,-12)$

b) $\dfrac{a}{2}-b=1$

Uma equação equivalente é $a-2b=2$, obtida quando multiplicamos a
original por $2$.

Uma solução particular é $(a_0, b_0)=(4,1)$ e as soluções gerais são da forma:

$\bullet$ $a=4-2t$

$\bullet$ $b=1-t$

Podemos escrever as soluções a seguir, tomando $t=0$, $t=2$, $\dots$ e $t=4$:

$(a,b)=(4,1)(2,0),(0,-1),(-2,-2),(-4,-3)$.

c) $x-y=10$

Uma solução particular é $(x_0, y_0)=(11,1)$ e as soluções gerais são:

$\rhd$ $x=11-t$

$\rhd$ $y=1-t$


Cinco delas são:

$(x,y)=(11,1),(10,0),(9,-1),(8,-2),(7,-3)$

d) $2x+y=15$

Uma solução particular é $(x_0, y_0)=(5, 5)$; As soluções gerais são:

$\bullet$ $x=5+t$

$\bullet$ $y=5-2t$

Cinco pares ordenados que satisfazem essa equação são:

$(x,y)=(5,5),(6,3),(7,1),(8,-1),(9,-3)$

2)

a) $3x+2y=-12$

Se o par ordenado $(-2,-3)$ é solução da equação dada, devemos ter:

$3\cdot(-2)+2\cdot(-3)=-12$

Temos $3\cdot(-2)+2\cdot(-3)=-6-6=-12$.

Assim, $3\cdot(-2)+2\cdot(-3)=-12$ e o par ordenado $(-2,-3)$ é solução da equação $3x+2y=-12$.

b) $m-4n=10$

Se o mesmo par é solução dessa equação, temos que:

$(-2)-4\cdot(-3)=10$

Note que, $(-2)-4\cdot(-3)=(-2)+12=10$

E, portanto, $(-2)-4\cdot(-3)=10$.

Logo, podemos afirmar que, o par ordenado $(-2,-3)$ também é solução da equação $m-4n=10$.

Espero ter ajudado, até mais ^^