Question

Alguém pode resolver esse exercício? Aplicando trigonometria para descobrir o valor de X.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{x\approx 84.6}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos este problema, utilizaremos alguns conceitos de trigonometria no triângulo retângulo.

Sabemos que $\sin\alpha=\dfrac{CO}{H}$, na qual CO é o cateto oposto ao ângulo $\alpha$ e H é a hipotenusa.

Aplicando os dados da imagem na fórmula, temos que

$\sin42^{\circ}=\dfrac{x}{126.419}$

Perceba que $\sin42^{\circ}=\sin(60^{\circ}-18^{\circ})$

Por soma dos arcos, podemos calcular um valor numérico para o seno.

É possível demonstrar que $\sin18^{\circ}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$ e $\cos18^{\circ}=\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$, assim como a fórmula para a subtração de arcos $\sin(a-b)=\sin a\cdot \cos b -\sin b\cdot \cos a$.

Substituindo os valores que temos e sabendo que $\sin60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ e $\cos60^{\circ}=\dfrac{1}{2}$ de acordo com a tabela de ângulos notáveis, temos

$\sin42^{\circ}=\sin60^{\circ}\cdot\cos18^{\circ}-\sin18^{\circ}\cdot\cos60^{\circ}$

Substitua os valores

$\sin42^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}-\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\cdot\dfrac{1}{2}$

Multiplique os valores

$\sin42^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6(\sqrt{5}+5)}+1-\sqrt{5}}{8}$

Com o auxílio de uma calculadora, podemos calcular o valor aproximado do seno

$\sin42^{\circ}\approx 0.67$

Substitua esse valor na equação

$\dfrac{x}{126.419}\approx 0.67$

Multiplique ambos os lados da equação por $126.419$

$x\approx 126.419\cdot 0.67$

Multiplique os valores e encontre o valor aproximado

$x\approx 84.6$

Este é o valor aproximado de x.