alguem pode me falar um pouco sobre equação do segundo grau?
Soluções para a tarefa
Uma equação do 2° grau é uma equação que tem duas incógnita x, sendo que uma delas possuem um grau igual a 2.
Exemplo:
2x² + 5x + 3 = 0 (essa é uma equação do segundo grau, veja o grau 2 na primeira incógnita)
Toda equação do 2° grau tem a seguinte forma:
ax² + bx + c = 0, onde a, b, c ∈ R e com a ≠ 0.
Chamamos a, b e c de coeficientes, a é sempre coeficiente de x², b é sempre coeficiente de x e c é sempre coeficiente do termo independente.
Exemplo:
3x² + 4x + 1 = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 3, b = 4, c = 1.
x² – x – 1 = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 1, b = -1, c = -1.
9x² – 5x = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 9, b = -5, c = 0.
5x² -4 = 0 é uma equação do segundo grau, com a = 5, b = 0, c = -4.
Equação do 2° grau completa e incompleta
Uma equação do 2° é chamada completa quando os coeficientes b e c diferentes de zero.
Exemplos:
2x² + 3x + 3 = 0
x² + x + 1 = 0
São equações completas.
Uma equação do 2° grau é chamada incompleta quando os coeficientes b ou c é igual a zero, basta um deles ser igual a zero, ou ambos serem iguais a zero.
Exemplos:
x² – 3 = 0 (b = 0)
2x² + x = 0 (c = 0)
5x² = 0 (b = 0 e c = 0)
Raízes de uma equação do 2° grau
Para resolvermos uma equação do 2° grau é necessário que encontremos as raízes da equação. As raízes são valores que quando substituímos nas incógnitas torna a sentença verdadeira. Assim, as raízes da equação forma o conjunto solução ou o conjunto verdade da equação.
Fórmula de Bhaskara
A fórmula de Bhaskara é o método mais fácil para encontrarmos as raízes da equação.
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
Exercício resolvido de uma equação do 2° grau
Encontre a solução para a seguinte equação: x² – 5x + 6 = 0
Resposta:
Primeiro vamos encontrar os coeficientes da equação, isto é, os valores de a, b e c.
a = 1
b = -5
c = 6
Agora, vamos aplicar a fórmula de Bhaskara, substituindo os valores correspondentes aos coeficientes a, b e c, para encontramos as raízes da equação:
\[x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1}\]
(-(-5)) = 5 e (-5)² = (-5) x (-5) = 25 (menos com menos é mais, estude potenciação)
Vamos separar a equação, pois temos que analisar separados, ou seja, quando verificarmos para + chamaremos de x1 e quando verificarmos para – chamaremos de x2. Veja:
\[x1 = \frac{5 + \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1} \Rightarrow\]
\[x1 = \frac{5 + \sqrt{25 - 24}}{2} \Rightarrow\]
\[x1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} \Rightarrow\]
\[x1 = \frac{5 + 1}{2} \Rightarrow\]
\[x1 = \frac{6}{2} \Rightarrow\]
\[x1 = 3\]
\[x2 = \frac{5 - \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1} \Rightarrow\]
\[x2 = \frac{5 - \sqrt{25 - 24}}{2} \Rightarrow\]
\[x2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} \Rightarrow\]
\[x2 = \frac{5 - 1}{2} \Rightarrow\]
\[x2 = \frac{4}{2} \Rightarrow\]
\[x2 = 2\]
Então, agora encontramos as raízes da equação: x1 = 3 e x2 = 2
Estas são as raízes da equação, ou seja, o conjunto solução que resolve a equação. Que torna ela verdadeira.
S = {2, 3}
Veja:
Se substituirmos as raízes veremos que elas realmente resolvem a equação.
\[2^2 - 5 \times 2 + 6 = 0 \Rightarrow\]
\[4 - 10 + 6 = 0 \Rightarrow\]
\[0 = 0 (verdade)\]
\[3^2 - 5 \times 3 + 6 = 0 \Rightarrow\]
\[9 - 15 + 6 = 0 \Rightarrow\]
\[0 = 0 (verdade)\]
A equação do segundo grau recebe esse nome porque é uma equação polinomial cujo termo de maior grau está elevado ao quadrado. Também chamada de equação quadrática, é representada por:
ax2 + bx + c = 0
Numa equação do 2º grau, o x é a incógnita e representa um valor desconhecido. Já as letras a, b e c são chamadas de coeficientes da equação.
Os coeficientes são números reais e o coeficiente a tem que ser diferente de zero, pois do contrário passa a ser uma equação do 1º grau.
Resolver uma equação de segundo Grau, significa buscar valores reais de x, que tornam a equação verdadeira. Esses valores são denominados raízes da equação.
Uma equação quadrática possui no máximo duas raízes reais.
Exemplo:
5x2 = 0
a = 5
b = 0
c = 0
Nesse caso, a equação incompleta apresenta os coeficientes b e c iguais a zero (b = c = 0):
Portanto, as raízes dessa equação possuem os valores x1 = x2 = 0