Question

Alguém pode me explicar passo a passo como resolver essa questão.

Sabendo que log2=0,3 e log3=0,48 e 12^x=15^y, então a razão x/y é igual a :

a) 59/54
b)10/9
c)61/54
d)31/27
e)7/6

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cardoso, que a resolução não é tão simples. Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: sabendo-se que log₁₀ (2) = 0,3 e log₁₀ (3) = 0,48 e que 12ˣ = 15ʸ , então determine o valor da razão "x / y ".

ii) Vamos por parte. Vamos partir do que já foi dado que é isto:

12ˣ = 15ʸ

ii.1) Vamos encontrar qual é o logaritmo de 12ˣ:

log₁₀ (12ˣ) = xlog₁₀ (12) ---- após havermos passado o expoente "x" multiplicando.

Note que 12 = 2² * 3. Assim, substituindo, teremos:

log₁₀ (12ˣ) = xlog₁₀ (2² * 3) ----- transformando o produto em soma, teremos;

log₁₀ (12ˣ) = x[log₁₀ (2²) + log₁₀ (3)] ---- passando o expoente "2" multiplicando o respectivo log, teremos:

log₁₀ (12ˣ) = x[2log₁₀ (2) + log₁₀ (3)] ----- fazendo as devidas substituições, temos:

log₁₀ (12ˣ) = x[2*0,3 + 0,48] ----- desenvolvendo, temos:

log₁₀ (12ˣ) = x[0,6 + 0,48] ------ como "0,6+0,48 = 1,08", teemos:

log₁₀ (12ˣ) = x*1,08 ---- ou apenas:

log₁₀ (12ˣ) = 1,08x      . (I)

Na expressão (I) acima, temos o valor do logaritmo de log₁₀ (12ˣ).

ii.2) Agora vamos encontrar o logaritmo de 15ʸ (na base 10), aplicando a mesma técnica que utilizamos para encontrar o logaritmo de 12ˣ (na base 10). Assim:

log₁₀ (15ʸ) = ylog₁₀ (15) ---- após passarmos o expoente "y" multiplicando. Continuando e considerando que 15 = 3*5, teremos:

log₁₀ (15ʸ) = ylog₁₀ (3*5) ---- transformando o produto em soma, teremos:

log₁₀ (15ʸ) = y[log₁₀ (3) + log₁₀ (5)] ---- note que 5 = 10/2. Assim, substituindo, temos;

log₁₀ (15ʸ) = y[log₁₀ (3) + log₁₀ (10/2)] ---- vamos transformar a divisão em subtração:

log₁₀ (15ʸ) = y[log₁₀ (3) + log₁₀ (10) - log₁₀ (2)] ---- fazendo as devidas substituições, teremos:

log₁₀ (15ʸ) = y[0,48 + 1 - 0,3] ------ desenvolvendo, teremos:

log₁₀ (15ʸ) = y[1,48 - 0,3] ---- ou apenas:

log₁₀ (15ʸ) = y[1,18] ---- ou apenas:

log₁₀ (15ʸ) = 1,18y      . (II)

Na expressão (II) acima temos o valor de log₁₀ (15ʸ)

iii) Agora veja que tínhamos inicialmente que:

12ˣ = 15ʸ ------- se esses números são iguais, então os logaritmos que encontramos também deverão sê-lo. Assim, temos que:

1,08x = 1,18y ------ como queremos o valor da razão "x/y", então vamos dividir ambos os membros por "1,18y". Fazendo isso, teremos:

1,08x / 1,18y = 1,18y / 1,18y ---- note que a expressão do 2º membro dá "1", pois temos alguma coisa sendo dividida por ela mesma. Então iremos ficar assim:

1,08x / 1,18y = 1 ----- note que poderemos reescrever o 1º membro da seguinte forma o que dá no mesmo:

(x/y)*1,08 / 1,18 = 1 ----- vamos isolar "x/y", ficando:

x/y = 1/(1,08/1,18) ----- note que no 2º membro temos uma divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Então ficaremos assim:

x/y = 1*(1,18/1,08) ---- ou apenas:

x/y = 1,18/1,08 ----- note que poderemos multiplicar uma fração por um mesmo número que ela não se modificará. Então vamos multiplicar numerador e denominador da fração do 2º membro por "100". Fazendo isso, ficaremos com:

x/y = 118 / 108 ---- Agora note que poderemos simplificar numerador e denominador da fração do 2º membro por "2", com o que ficaremos apenas com:

x/y = 59 / 54 <---- Eta é a resposta. Opção "a".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.