Question

alguem pode me explicar funções limitadas,ilimitadas,inferior ou superior?
vou por esse exercicio q n sei fazer:
f(x)=-5x+3
f(x)=|x-5|

Answer 1

$\bullet\;\;$ Diz-se que uma função $f\left(x \right )$ é limitada superiormente, se e somente se existe uma constante real $C$, tal que

$f\left(x \right )\leq C$

para todo $x \in D\left(f \right )$ (para todo $x$ do domínio da função $f$).


$\bullet\;\;$ Diz-se que uma função $f\left(x \right )$ é limitada inferiormente, se e somente se existe uma constante real $c$, tal que

$c \leq f\left(x \right )$

para todo $x \in D\left(f \right )$ (para todo $x$ do domínio da função $f$).


$\bullet\;\;$ Uma função é limitada, se e somente se existe uma constante real não-negativa $M$, tal que

$-M \leq f\left(x \right ) \leq M$

para todo $x$ do domínio de $f$.


$\bullet\;\;$ Se uma função não é limitada, então ela é ilimitada, ou seja, ela é ilimitada superiormente ou inferiormente.


a) $f\left(x \right )=-5x+3$

Esta função não é limitada nem inferiormente, nem superiormente, pois não existe uma constante não-negativa $M$, tal que

$-M\leq -5x+3 \leq M$

Basta observar que o conjunto imagem desta função é o próprio $\mathbb{R}$, que é um conjunto ilimitado (não possui o maior nem o menor elemento).


b) $f\left(x \right )=\left|x-5\right|$

Esta função é limitada apenas inferiormente, pois

$0\leq \left|x-5\right|$

para todo $x \in \mathbb{R}$.


Basta observar que o conjunto imagem desta função são todos os reais não-negativos:

$D\left(f \right )=R^{+}=[\,0,\,+\infty\,]$

que possui apenas o menor elemento, que é o zero.