Question

Alguém pode me ensinar como resolver? Passo à passo, se possível.

$\frac{x+5}{x+3} < \frac{x+1}{x-1}$

Answer 1

Quando se multiplica uma inequação por um número negativo o sinal da desigualdade muda. Como tu não sabe os valores de x não pode multiplicar em cruz como nas igualdades, pois o sinal pode inverter. Em vez disso vamos passar as duas frações para o mesmo membro e fazer as análises necessárias:

$\frac{x+5}{x+3}<\frac{x+1}{x-1}\Rightarrow \frac{x+5}{x+3}-\frac{x+1}{x-1}<0\\ \\ \frac{(x+5)(x-1)-(x+1)(x+3)}{(x+3)(x-1)}<0\\ \\ \frac{x^2+4x-5-(x^2+4x+3)}{(x+3)(x-1)}<0\\ \\ \mathrm{J\'a \ cancelando \ os \ termos \ iguais} \\ \\ \frac{-8}{(x+3)(x-1)}<0$

Agora temos que analisar o sinal dessa fração. Ela tem que ser menor que 0, isso quer dizer que ela tem que ser negativa, mas ela só será negativa se o denominador for positivo, ou seja, (x+3)(x-1) > 0. Fazendo o estudo do sinal dessa função temos a imagem em anexo. O conjunto solução será dado, então, por:

$\boxed{\boxed{S=]-\infty,-3[ \ \cup \ ]1,\infty[}}$