Question

Alguém pode me dizer como resolvo essa questão sobre logaritmos?

Answer 1

Resposta:

X pode ser tanto 4 quanto 8.

Explicação passo-a-passo:

$\log_x 2 \times \log_{\frac{x}{16}} 2 = \log_{\frac{x}{64}} 2$

Nesse ponto, é importante saber duas propriedades dos logaritmos: a mudança de base e os operadores. Dê uma olhada se não conseguir entender.

Optei por mudar a base de tudo para dois, pois todos os numerais na questão são potências de dois.

$\frac{\log_2 2 }{\log_2 x} \times \frac{\log_2 2}{\log_2 x - \log_2 16} = \frac{\log_2 2}{\log_2 x - \log_2 64}\\\\\frac{1}{\log_2 x} \times \frac{1}{\log_2 x - 4} = \frac{1}{\log_2 x - 6}\\\\\log_2 x - 6 = \log_2 x \times (\log_2 x - 4)$

Aqui, é possível determinar que se trata de uma função quadrática/segundo grau. Para facilitar, vou substituir $\log_2 x$ por $z$.

$\boxed{z \implies \log_2 x}$

$z - 6 = z \times (z - 4)\\z - 6 = z^2 - 4z\\z^2 - 5z + 6 = 0$

$z = 3 \; ou \; 2$

Resolvendo X:

$log_2 x = 2\\\boxed{x = 4}\\\\log_2 x = 3\\\boxed{x = 8}$