Question

Alguém pode me ajudar por favor? Letra (f) e questão 2

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a derivada procurada é:

                            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r'(1) = 120\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                             $\Large\begin{cases}\tt r(x) = f(g(h(x)))\\ \tt h(1) = 2\\ \tt g(2) = 3\\ \tt h'(1) = 4\\ \tt g'(2) = 5\\ \tt f'(3) = 6\\ \tt r'(1) = \:?\end{cases}$

Sabemos que a derivada - pela regra da cadeia - para a composição de duas funções pode ser obtida pela seguinte fórmula:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt \frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x))\cdot g'(x)\end{gathered}$

Agora, para obter a derivada da composição de três funções podemos adaptar a regra da cadeia da seguinte forma:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \frac{d}{dx}(f(g(h(x)))) = h'(x)\cdot g'(h(x))\cdot f'(g(h(x)))\end{gathered}$

Como não temos alguma lei de formação para as respectivas funções, porém temos os respectivos valores numéricos das funções e suas derivadas, então desenvolvemos o seguinte:  

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt r'(1) = h'(1)\cdot g'(h(1))\cdot f'(g(h(1)))\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt = 4\cdot g'(2)\cdot f'(g(2))\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 4\cdot5\cdot f'(3)\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt = 4\cdot 5\cdot 6\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = 120\end{gathered}$

✅ Portanto, o resultado é:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt r'(1) = 120\end{gathered}$

         

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