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Answer 1

Os valores de $x$ que satisfazem a equação $\dfrac{4+4^x}{5} =2^x$ são $x=2$ e $x=0$.

Enunciado - Resolva a equação exponencial abaixo:

$\dfrac{4+4^x}{5} =2^x$

Para resolver essa equação exponencial, faremos uma mudança de variável para deixá-la similar a uma equação de segundo grau.

Considere que $4^x=2^{2x}=(2^x)^2$. Então:

$\dfrac{4+4^x}{5} =2^x\\\\\\\dfrac{4+(2^x)^2}{5}=2^x \\\\4+(2^x)^2=2^x\cdot 5$

• Faremos a seguinte mudança de variável: $2^x=y$. Isso que dizer que substituiremos $2^x$ por $y$ na equação.

$4+(2^x)^2=2^x\cdot 5\\\\4+(y)^2=y \cdot 5\\\\4+y^2=5y\\\\y^2-5y+4=0$

• Após a mudança de variável, encontramos uma equação do segundo grau, que pode ser resolvida usando Bhaskara:

$y^2-5y+4=0~;a=1~,b=-5 ~e ~c=4$

$\Delta=b^2-4ac\\\\\Delta=(-5)^2-4 \cdot1\cdot4\\\\\Delta=25-16\\\\\Delta=9$

$\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta} }{2a} \\\\\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{9} }{2 \cdot 1} \\\\\dfrac{5\pm3}{2} \\\\y_1=\dfrac{5+3}{2} =\dfrac{8}{2} =4\\\\y_2=\dfrac{5-3}{2} =\dfrac{2}{2}=1$

Encontramos dois valores para $y$, 4 e 1. Porém, $y=2^x$, então:

• Para $y=4$

$y=2^x\\\\4=2^x\\\\2^2=2^x\\\\x=2$

• Para $y=1$

$y=2^x\\\\1=2^x\\\\2^0=2^x\\\\x=0$

Portanto, os valores de $x$ que satisfazem a equação $\dfrac{4+4^x}{5} =2^x$ são $x=2$ e $x=0$.

Saiba mais sobre equação exponencial em:

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