Question

Alguém pode me ajudar nessa questão de matemática?

Valor de log4 16+ log2 2+ log5 5^2 é:

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

e) 1

Answer 1

A soma dos logaritmos pedidos equivale a 5. (Alternativa A)

Vamos começar essa questão fazendo algumas considerações :

''O logaritmo corresponde ao número que devo elevar a minha base para chegar no valor do logaritmando''.

$loga_c = b$, sendo que :

c → base

a → logaritmando

b → logaritmo

Como o valor numérico dos logaritmos pedidos são desconhecido vamos chamá-los de x,y e z. Logo é possível dizer que :

$log_416 = x$

$log_22 = y$

$log_55^2 = z$

Antes da gente começar a aplicar a definição propriamente dita é necessário fazer o uso de uma propriedade que fala sobre logaritmos com expoentes. Veja :

                               $log_ab^c = c. log_ab$

Aplicando essa propriedade no último logaritmo :

$log_55^2 = 2.log_55$ , logo :

Será necessário destrinchar ainda mais esse logaritmo para facilitar os nosso cálculos. Portanto eu vou dizer que :

$log_55 = z$

$2.log_55 = a$

Utilizando a definição de logaritmo que eu te passei ali em cima nós ficamos com :

                                    $\boxed {4^x = 16}$

                                     $\boxed {2^y = 2}$

                                     $\boxed {5^z = 5}$

Feito isso o nosso objetivo agora é deixar ambos os lados em uma mesma base para podermos igualar os seus expoentes.

• Vamos começar fatorando o 16 para deixá-lo em base 4.

         16 → 4.4 = 4²

                                        $4^x = 4^2$

                                        $2^y = 2^1$

                                        $5^z = 5^1$

1. Observe que agora ambos os lados da nossa equação estão numa mesma base. Portanto agora é só igualar os expoentes :

                                          $\boxed {x = 2}$

                                          $\boxed {y = 1}$

                                          $\boxed {z = 1}$

No entanto lembra que no caso do logaritmo último logaritmo nós o separamos em duas outras expressões ? Pois então, agora é hora de realmente achar quanto ele vale. Observe :

$log_55 = z$ , $z = 1$ ⇔ $\boxed {log_55 = 1}$

$a = 2.log_55$ ⇔ $a = 2.1$ ∴ $\boxed {a = 2}$

Por fim basta efetuar a soma pedida pelo exercício :

                           $log_416 + log_22 + log_55^2$

                                    $x + y + a = ?$

                                    $2 + 1 + 2 = 5$