Question

Alguém pode me ajudar?
Determine x afim de que a sequencia (9x+5/2, x+1,x-2) seja uma P.G,
sendo que o termo 9x+5 ele tanto o 9x quanto o 5 estão sendo divididos por 2.

Answer 1

Para que a sequência seja uma P.G, a razão entre o segundo elemento e o primeiro deve ser igual a razão entre o terceiro elemento e o segundo. Desta forma:
$\dfrac{x+1}{ \frac{9x+5}{2} } = \dfrac{x-2}{x+1} \\ \\ \dfrac{2(x+1)}{9x+5} = \dfrac{x-2}{x+1}$


Multiplicando em cruz:
$\dfrac{2(x+1)}{9x+5} = \dfrac{x-2}{x+1} \\ \\ 2(x+1)^2 = (x-2)(9x+5) \\ \\ 2(x^2+2x+1) = 9x^2 -13x -10 \\ \\ 2x^2 + 4x + 2 = 9x^2 - 13x - 10 \\ \\ 7x^2 -17x -12 = 0$


Ao resolver está equação pela fórmula de Bhaskara, obtemos as raízes:
x' = 3
x'' = -8/14


Substituindo x' na sequência temos:
$\left( \dfrac{9*3+5}{2}, 3+1, 3-2 \right) \\ \\ \left(16, 4, 1 \right)$

que caracteriza uma P.G de razão 1/4.


Substituindo x'' na sequência temos:
$\left( \dfrac{9*[-8/14]+5}{2}, [-8/14]+1, [-8/14]-2 \right) \\ \\ \left(-\dfrac{1}{14}, \dfrac{3}{7}, -\dfrac{18}{7} \right)$


que caracteriza uma P.G de razão -6.