Question

Alguém pode me ajudar? Desde já agradeço!..

Answer 1

Resposta:

I)

Custo $\approx \ 342491.11$

Custo médio  $\approx\ 342,49$

Custo marginal $\approx\ 389,74$

II)

Quantidade de peças para custo mínimo $=400$

III)

Custo médio mínimo $= \ 320$

Explicação passo a passo:

a) Seja $C(x)=16000+200x+4x^{3/2}$

I)

Então o custo vai ser dado por de 1000 peças é dado por

$C(1000)=16000+200\times1000+4\times1000^\frac{3}{2}\approx342491.11$

Já para o custo médio para $1000$ unidade é

$c(1000)=\frac{C(1000)}{1000}=\frac{16000+200\times1000+4\times {1000}^\frac{3}{2}}{1000}=\frac{342491,1064}{1000}\approx342,49$

O custo marginal é igual a derivada da função Custo

$C'(x)=(16000+200x+4x^\frac{3}{2})'$

Lembrando que a derivada da soma é a soma das derivadas ficamos com

$C'(x)=16000'+200x'+4x^\frac{3}{2}'$

derivada de constante é 0 e então $16000'=0$, derivada de potencia segue a seguinte propriedade $(x^a)'=ax^{a-1}$, então $(x^1)'=1x^0=1$ e $x^\frac{3}{2}=\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{2}x^\frac{1}{2}$ e portanto nossa $C'(x)$ é dada por

$C'(x)=0+200\times1+4\times\frac{3}{2}x^\frac{1}{2}=6\sqrt{x}+200$

Fazendo $C'(1000)$ teremos o custo marginal de 1000 peças

$C'(1000)=6\sqrt{1000}+200\approx389,74$

II)

O mínimo do custo médio é dado quando igualamos a derivada do custo médio a 0

$c'(x)=({\frac{C(x)}{x}})'=(\frac{16000+200x+4x^{\frac{3}{2}}}{x})'$

Podemos fazer pela regra do quociente ou simplificar a expressão

Vou optar por simplificar a expressão

$c'(x)=(16000/x+200+4x^\frac{1}{2})'=-\frac{16000}{x^2}+\frac{2}{x^\frac{1}{2}}$

Fazendo isso igual a 0

$-\frac{16000}{x^2}+\frac{2}{x^\frac{1}{2}}=0\\\frac{2}{x^\frac{1}{2}}=\frac{16000}{x^2}\\\frac{2x^2}{x^\frac{1}{2}}=16000\\2x^\frac{3}{2}=16000\\x^\frac{3}{2}=8000\\x=8000^{2/3}=400$

Então o custo mínimo ocorre ao produzir 400 peças

III)

Só calcular $c(400)$

$c(400)=\frac{C(400)}{400}=\frac{16000+200\times 400+4\times 400^\frac{3}{2}}{400}=320$

Qualquer coisa chama noix