Question

ALGUÉM PODE ME AJUDAR:
As cartas de um baralho com mesmo naipe, numeradas de 1 a 10 foram colocadas em uma caixa. Maria retira cinco cartas e observa seus números.
A) Qual a probabilidade do menor número observado ser 1?
B) Qual a probabilidade do maior número observado ser 9?
C) Qual a probabilidade do menor número observado ser 1 e o maior ser 9?

Answer 1

O espaço amostral é formado por todos os grupos de 5 cartas que se pode formar com as 10 cartas disponíveis.

A quantidade de elementos do espaço amostral é

$\mathtt{\#(S)=C_{10,\,5}}\\\\ \mathtt{\#(S)=\dfrac{10!}{5!\cdot (10-5)!}}\\\\\\ \mathtt{\#(S)=\dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot \diagup\!\!\!\!\! 5!}{5!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 5!}}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \mathtt{\#(S)=252} \end{array}}$

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a) Evento

$\mathtt{A:}$   o menor número observado é 1.


Os elementos de $\mathtt{A}$ são todos os grupos que contêm a carta 1, e as outras quatro podem ser qualquer uma das 9 restantes.

$\mathtt{\#(A)=C_{9,\,4}}\\\\ \mathtt{\#(A)=\dfrac{9!}{4!\cdot (9-4)!}}\\\\\\ \mathtt{\#(A)=\dfrac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot \diagup\!\!\!\!\! 5!}{4!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 5!}}\\\\\\ \mathtt{\#(A)=\dfrac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\\\\\\ \mathtt{\#(A)=126}$


A probabilidade pedida é

$\mathtt{p(A)=\dfrac{\#(A)}{\#(S)}}\\\\\\ \mathtt{p(A)=\dfrac{126}{252}}\\\\\\ \mathtt{p(A)=0,\!50}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathtt{p(A)=50\%} \end{array}}$

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b) Evento

$\mathtt{B:}$   o maior número observado é o 9.

Os elementos de $\mathtt{B}$ são todos os grupos que contêm a carta 9, e as outras quatro podem ser qualquer carta de 1 até 8 (pois 9 deve ser a maior).

$\mathtt{\#(B)=C_{8,\,4}}\\\\ \mathtt{\#(B)=\dfrac{8!}{4!\cdot (8-4)!}}\\\\\\ \mathtt{\#(B)=\dfrac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot \diagup\!\!\!\!\! 4!}{4!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 4!}}\\\\\\ \mathtt{\#(B)=70}$


A probabilidade pedida é

$\mathtt{p(B)=\dfrac{\#(B)}{\#(S)}}\\\\\\ \mathtt{p(B)=\dfrac{70}{252}}\\\\\\ \mathtt{p(B)\approx 0,278}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathtt{p(B)\approx 27,\!8\%} \end{array}}$

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c) Evento

$\mathtt{C:}$   o menor número observado é o 1, e o maior é o 9.

Os elementos de $\mathtt{C}$ são todos os grupos que contêm as cartas 1 e 9, e as outras três podem ser qualquer carta de 2 até 8 (7 cartas restantes).

$\mathtt{\#(C)=C_{7,\,3}}\\\\ \mathtt{\#(C)=\dfrac{7!}{3!\cdot (7-3)!}}\\\\\\ \mathtt{\#(C)=\dfrac{7\cdot 6\cdot 5\cdot \diagup\!\!\!\!\! 4!}{3!\cdot \diagup\!\!\!\!\! 4!}}\\\\\\ \mathtt{\#(C)=\dfrac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}}\\\\\\ \mathtt{\#(C)=35}$


A probabilidade pedida é

$\mathtt{p(C)=\dfrac{\#(C)}{\#(S)}}\\\\\\ \mathtt{p(C)=\dfrac{35}{252}}\\\\\\ \mathtt{p(C)\approx 0,\!139}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathtt{p(C)\approx 13,\!9\%} \end{array}}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)