Question

Alguém pode me ajudar? a resolver essas questões ?

a)Considere uma função de segundo grau do tipo ax2+bx−c
Seja a=1; b=2 e c=21. Apresente a função proposta

b) Encontre as raízes da função , x do vértice e y do vértice
obs: se seu delta resultar num valor negativo apresente este valor, em módulo, ou seja, desenvolva o resto da sua conta considerando este mesmo valor, mas positivo.

c) Faça o gráfico da função encontrada

Answer 1

Resposta:

a ) Se  x² + 2x + 21 = 0      

b ) V ( - 1 ; 20 )     S = { - 1 - 2i√5  ; - 1 + 2i√5 ) que não são raízes reais

( ver gráfico em anexo 1 )

OU

a )  x² + 2x - 21 = 0

b)  V ( - 1 ; - 22 )           S = { - 1 - √22 ; - 1 + √22 }

( ver gráfico em anexo 2 )

ÕU

de acordo a sua instrução de fazer módulo do Δ ,

S = { - 1 + 2√5 ; - 1 - 2√5 }  

mas isto é forçado, por ter trocado o sinal ao Δ.

Explicação passo a passo:

Primeiro aviso

Vou usar função do 2º grau do tipo " ax² + bx + c " e  não   como

ax² + bx - c , que você tem em seu enunciado.

+++++++++++++++++++

Observação 1 → Função completa do 2º grau

f(x) = ax² + bx + c     a ; b; c ∈ |R     a ≠ 0

Dá origem  uma equação completa do 2º grau

ax ² + bx + c = 0

a)

a =  1

b = 2

c = 21

A equação completa ficaria:

x² + 2x + 21 = 0

b)

Com    x² + 2x + 21 = 0

Cálculo das raízes pela Fórmula de Bhaskara

x = ( - b ± √Δ ) / 2a         Δ = b² - 4 * a * c        a ≠ 0

a =  1    

b = 2

c = 21

Δ = 2² - 4 * 1 * 21 = 4 - 84 = - 80    

Era isto que você procurava, ter um Δ < 0, logo negativo.

Observação 2 → Que tipo de raízes de Equação 2º garu com Δ < 0 ?

Quando o Δ < 0, ou seja negativo , a equação do 2º grau não tem raízes reais.

Mas tem raízes complexas.

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Cálculo com uso de números complexos.

Esta parte que vou resolver vai conduzir-me  a raízes complexas.

Deu esta matéria?

Se já , ainda melhor.

Observação 3 → Raízes quadradas de números negativos

No conjunto dos números Reais não existem raízes quadradas de

números negativos.

E dizendo isto , habitualmente paramos os cálculos.

Mas os cálculos podem continuar com números Complexos.

Os números complexos giram à volta de uma noção em Matemática em

que:

$\sqrt{-1} =i$

Assim se tiver :

$\sqrt{-4} =\sqrt{4*(-1)} =\sqrt{4} *\sqrt{-1} =2*i=2i$

Com este conhecimento vou resolver a equação.

a =  1    

b = 2

c = 21

Δ = - 80

Decompor 80 em fatores primos

80 | 2             80 = 2 *2 * 2 * 2 * 5 = 4 * 4 * 5

40 | 2             Eu escrevo 4 porque quando tirar a raiz de 4 vai dar 2

20 | 2             Ou que 4 * 4 = 16  e sua raiz quadrada dá 4

10 | 2

 5 | 5

  1

$x_{1} =\dfrac{-2+\sqrt{-80} }{2*1}=\dfrac{-2+\sqrt{4*4*5*(-1)} }{2} =\dfrac{-2+\sqrt{16*5*(-1)} }{2}$

$=\dfrac{-2+\sqrt{16} *\sqrt{5}*\sqrt{-1} }{2}=\dfrac{-2+4*\sqrt{5}*i }{2} =\dfrac{-2+4i*\sqrt{5}}{2}$

No numerador tenho dois monômios

o " - 2 " e o " 4i*√5

que têm de comum o valor 2

Coloquemos em evidência o valor 2

$=\dfrac{2*(-1+2i*\sqrt{5})}{2}$

O 2 do numerador e o 2 do denominador cancelam-se

$-1+2i*\sqrt{5}$       Uma raiz

$x_{2} =\dfrac{-2-\sqrt{-80} }{2*1}=\dfrac{-2-\sqrt{4*4*5*(-1)} }{2} =\dfrac{-2-\sqrt{16*5*(-1)} }{2}$

$=\dfrac{-2-\sqrt{16} *\sqrt{5}*\sqrt{-1} }{2}=\dfrac{-2-4*\sqrt{5}*i }{2} =\dfrac{-2-4i*\sqrt{5}}{2}$

$=\dfrac{2*(-1-2i*\sqrt{5})}{2}$

$-1-2i*\sqrt{5}$       outra raiz

S = { - 1 - 2i√5  ; - 1 + 2i√5 )

Fim do cálculo com números complexos

Cálculo do vértice para x² + 2x + 21 = 0

usando a fórmula

V ( - b/2a ; - Δ / 4a )

V ( - 2 /(2*1) ; - (- 80) /(4*1) ) = ( - 2 / 2 ;  80 / 4 )

V ( - 1 ; 20 )

( ver representação em anexo 1 )

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De acordo com sua instrução, se aparecer um Δ negativo

Peguemos no Δ = - 80 e vamos o módulo dele.

| - 80 | = 80  

A partir daqui vamos resolver a equação com Δ = 80

a =  1    

b = 2

c = 21

Δ = 80

$\sqrt{80} =\sqrt{16*5} =\sqrt{16} *\sqrt{5} =4\sqrt{5}$

$x_{1} =\dfrac{-2+4\sqrt{5} }{2} =\dfrac{2*(-1+2\sqrt{5}) }{2} =-1+2\sqrt{5}$

$x_{1} =\dfrac{-2-4\sqrt{5} }{2} =\dfrac{2*(-1-2\sqrt{5}) }{2} =-1-2\sqrt{5}$

Assim a equação  x² + 2x + 21 = 0 forçava que houvessem estas raízes.

S = { - 1 + 2√5 ; - 1 - 2√5 }   que são números reais.

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Segundo aviso

Atenção que, acima, eu coloquei a equação que você indicou

ax² + bx − c = 0    não nesta forma,

mas na forma

ax² + bx + c = 0   onde aparece "+ c" e não " - c "

Porque se aparecesse

ax² + bx − c = 0

A equação ficava

x² + 2x - 21 = 0

a = 1

b = 2

c = - 21

Δ = 2² - 4 * 1 * ( - 21 ) = 4 + 84 = 88

Logo ficava o Δ > 0, positivo e nada do que se fez atrás era necessário

porque sendo o Δ positivo a equação iria ter raízes reais.

E nem era preciso calcular o módulo de 88 , porque 88 não é negativo.

Decompor em fatores primos o 88

88 | 2             88 =  2 * 2 * 2 * 11  = 4 * 22

44 | 2              Coloquei 4 * 22 porque raiz quadrada de 4 vai dar 2

22 | 2

11  | 11

 1

$x_{1} =\dfrac{-2+\sqrt{88} }{2} =\dfrac{-2+\sqrt{4*22} }{2} =\dfrac{-2+\sqrt{4}*\sqrt{22} }{2}=\dfrac{-2+2*\sqrt{22} }{2}$

$=\dfrac{2*(-1+1*\sqrt{22}) }{2}=-1+\sqrt{22}$

$x_{2} =\dfrac{-2-\sqrt{88} }{2} =\dfrac{-2-\sqrt{4*22} }{2} =\dfrac{-2-\sqrt{4}*\sqrt{22} }{2}=\dfrac{-2-2*\sqrt{22} }{2}$

$=\dfrac{2*(-1-1*\sqrt{22}) }{2}=-1-\sqrt{22}$

S = { - 1 - √22 ; - 1 + √22 }

E não havia lugar a Δ negativo nem era necessário forçar o módulo de Δ .

Com x² + 2x - 21 = 0

O vértice tinha:

Coordenada em x

x = - 2 /(2 * 1 ) = - 2/2 = - 1

Coordenada em y

y = ( - 88 / (4 * 1 ) = - 22

V ( - 1 ; - 22 )

( ver representação em anexo 2 )

Bons estudos.

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( * ) multiplicação           ( / ) divisão            ( ≠ ) diferente de  

( < )  menor do que