Question

Alguém pode me ajudar a decompor esse Limite??

Answer 1

Propriedades que utilizarei para resolver o limite:

1.

$\lim\limits_{x\rightarrow a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)}$

Onde n é inteiro e positivo (se n é par, supomos que o limite é maior que zero)

2. Suponha que os limites de f e g quando x tende a 'a' existam:

$\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)}{\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)}~~~~~~~\boxed{se~\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)\neq0}$
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$\lim\limits_{x\rightarrow-2}\sqrt[3]{\dfrac{x^{3}+2x^{2}-3x+2}{x^{2}+4x+3}}=\lim\limits_{x\rightarrow-2}\dfrac{\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}-3x+2}}{\sqrt[3]{x^{2}+x+3}}$

Como ambos limites existem e o de baixo é diferente de zero (só fazer a substituição direta), podemos prosseguir fazendo o quociente dos limites:

$\lim\limits_{x\rightarrow-2}\sqrt[3]{\dfrac{x^{3}+2x^{2}-3x+2}{x^{2}+4x+3}}=\dfrac{\lim\limits_{x\rightarrow-2}\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}-3x+2}}{\lim\limits_{x\rightarrow-2}\sqrt[3]{x^{2}+x+3}}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow-2}\sqrt[3]{\dfrac{x^{3}+2x^{2}-3x+2}{x^{2}+4x+3}}=\dfrac{\sqrt[3]{\lim\limits_{x\rightarrow-2}x^{3}+2x^{2}-3x+2}}{\sqrt[3]{\lim\limits_{x\rightarrow-2}x^{2}+4x+3}}$

Podemos resolver esses limites substituindo x por -2 normalmente (poderíamos ter feito no início também, mas é sempre bom lembrar propriedades e teoremas)

$\lim\limits_{x\rightarrow-2}x^{3}+2x^{2}-3x+2}=(-2)^{3}+2(-2)^{2}-3(-2)+2\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow-2}x^{3}+2x^{2}-3x+2}=-8+8+6+2=8\\\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow-2}x^{2}+4x+3}=(-2)^{2}+4(-2)+3=4-8+3=-1$

Logo:

$\lim\limits_{x\rightarrow-2}\sqrt[3]{\dfrac{x^{3}+2x^{2}-3x+2}{x^{2}+4x+3}}=\dfrac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{-1}}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow-2}\sqrt[3]{\dfrac{x^{3}+2x^{2}-3x+2}{x^{2}+4x+3}}=\dfrac{2}{-1}\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow-2}\sqrt[3]{\dfrac{x^{3}+2x^{2}-3x+2}{x^{2}+4x+3}}=-2}}$
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P.S: Também poderíamos resolver esse limite facilmente lembrando de um teorema:

Se g(x) é contínua em x = a e f(x) é contínua em x = g(a), então f(g(x)) é contínua em x = a. Portanto:

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow a}f(g(x))=f(g(a))}}$

No caso:

$f(x)=\sqrt[3]{x}\\\\\\g(x)=\dfrac{x^{3}+2x^{2}-3x+2}{x^{2}+4x+3}$

E ambas são funções contínuas em x = -2 (e em seus domínios)