Question

alguem pode ajudarnessa equação exponencial?
25^x+625=130 vezes 5^x

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Guidias, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Pede-se para resolver a seguinte expressão:

25ˣ + 625 = 130*5ˣ ---- note que o símbolo * quer dizer multiplicação (vezes).

Note que 25 = 5². Assim, teremos:

(5²)ˣ + 625 = 130*5ˣ ---- desenvolvendo, temos:
5²ˣ + 625 = 130*5ˣ ---- passando o 2º membro para o 1º, teremos:
5²ˣ + 625 - 130*5ˣ = 0 ---- vamos apenas ordenar, ficando:
5²ˣ - 130*5ˣ + 625 = 0 ----- vamos fazer 5ˣ = y. Note que ao fazermos 5ˣ = y, fica claro que 5²ˣ será igual a y², concorda? Então teremos:

y² - 130y + 625 = 0 ---- vamos aplicar a fórmula de Bháskara, que é dada assim:

y = [-b ± √(Δ)]/2a ---- sendo Δ = b² - 4ac. Logo, ficaremos assim:
y = [-b  ± √(b²-4ac)]/2a

Agora note que os coeficientes da equação da sua questão são estes: a = 1 --- (é o coeficiente de y²); b = - 130 --- (é o coeficiente de y); c = 625 --- (é o coeficiente do termo independente). Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara acima, teremos:

y = [-(-130)  ± √(-130)² - 4*1*625)]/2*1
y = [130  ± √(16.900 - 2.500)]/2
y = [130  ± √(14.400)]/2 ---- note que √(14.400) = 120. Logo, ficaremos:
y = [130  ± 120]/2 ---- daqui você já conclui que:

y' = (130-120)/2 = 10/2 = 5
e
y'' = (130+120) = 250/2 = 125.

Assim, como você viu, temos que y' = 5 e que y'' = 125.

ii) Mas lembre-se que fizemos 5ˣ = y. Então:

ii.1) Para y = 5, teremos:

5ˣ = 5 --- note que o "5" que está no 2º membro tem expoente "1", apenas não se coloca. Mas é como se fosse assim:

5ˣ = 5¹ --- como as bases são iguais, então igualaremos os expoentes. Logo:
x = 1 <--- Esta é uma resposta válida para "x".

ii.2) Para y = 125, teremos:

5ˣ = 125 ---- note que 125 = 5³. Assim:
5ˣ = 5³ --- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:
x = 3 <--- Esta é outra resposta válida para "x".

iii) Assim, resumindo, temos que "x" poderá ser um dos seguintes valores:

x' = 1, ou x'' = 3 <--- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {1; 3}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.