Question

alguém pode ajudar ??

um corpo é abandonado de uma altura de 40m. determine o tempo necessário para que esse corpo chegue a metade do caminho e a sua velocidade nesse ponto, bem como atingir o chão.

(coloquem a conta pfv) ​

Answer 1

$\texttt{Ol\'a! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$

Esse é um problema de queda livre. Para um entendimento do movimento sempre é bom fazer um esboço. Veja a imagem.

Primeiro vamos encontrar o tempo até chegar na posição 20m. Perceba que o exercício também pede para calcular o tempo em 40 metros, então para facilitar vamos manipular a função horária da posição em M.R.U.V.:

$\huge {\underline{\boxed{\tt y = y_0 + \upsilon_0 t + \tfrac{1}{2}gt^2}}}$

Veja que na figura adotamos como referencial o ponto onde o corpo - ponto material - é abandonado, ou seja, marcamos como origem do sistema e começamos a contar o tempo a partir de zero segundos. Note que, se o corpo é simplesmente abandonado, logo sua velocidade inicial é zero. Então:

$\large \tt y = y_0 + \cancel{\upsilon_0 t}^{^{0} } + \tfrac{1}{2}gt^2\:\:\:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \large \tt y = y_0 + \tfrac{1}{2}gt^2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \large \tt y - y_0= \cancel{y_0 } - \cancel{y_0 }+ \tfrac{1}{2}gt^2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \large \tt 2(y - y_0)= \tfrac{1}{ \cancel2}gt^2 \cdot \cancel2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \large \tt \frac{2(y - y_0)}{g}= \cancel gt^2 \cdot \tfrac{1}{ \cancel g} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \large \tt \sqrt{ \frac{2(y - y_0)}{g}}= \sqrt{ t^2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \huge {\underline{\boxed{\tt \therefore\:t = \pm \sqrt{ \frac{2(y - y_0)}{g}}}}}$

Tal que, no S.I.:

y = posição final - [ m ];

y₀ = posição inicial - [ m ];

t = tempo final - [ s ];

g = 9,81 m/s² = aceleração no campo gravitacional terrestre - [ ms⁻² ]

Como só existe tempo positivo, vamos considerar a raiz positiva dessa equação. A partir disso praticamente morreu a questão.

Agora podemos calcular o tempo em qualquer posição da trajetória do corpo.

Vamos calcular o tempo até o corpo chegar à metade do trajeto, ou seja, y = 20m:

$\large \tt t = \sqrt{ \frac{2(20 - 0)}{9.81}}\\ \large \tt \\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\:t = 2.02 \: s}}} \: \: \:$

Para saber a velocidade em determinado ponto é necessário utilizar a função horária da velocidade em M.R.U.V., denotada por:

$\huge{\underline{\boxed{\tt \upsilon = \upsilon_0 + g t}}}$

Já vimos que a velocidade inicial é zero, logo:

$\large \tt \upsilon = \cancel{\upsilon_0}^{^{0} } + 9.81 \cdot 2.02\\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\: \upsilon = 19.81 \:ms ^{ - 1} }}} \: \: \: \:$

Para quando o corpo tocar ao solo, você deverá seguir a mesma lógica:

Tempo em 40m:

$\large \tt t = \sqrt{ \frac{2(40 - 0)}{9.81}}\\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\:t = 2.86 \: s}}} \: \: \:$

Velocidade em 40m:

$\large \tt \upsilon = \cancel{\upsilon_0}^{^{0} } + 9.81 \cdot 2.86\\ \large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\: \upsilon = 28.04 \:ms ^{ - 1} }}} \: \: \: \:$