Question

Alguém pode ajudar, por favor!!!!

1) Dê o conjunto solução da equação (16^x + 64)/5 = 4^x+1
2) ...
3) ...
4) ...

Answer 1

São relativamente extensas, mas vamos lá:

1) $\frac{16^x+64}{5}=4^{x+1}$

$16^x+64=5\cdot 4^{x+1}$

$(4^2)^x+64=5\cdot 4^x\cdot 4$

$(4^x)^2+64=20\cdot 4^x$

Realizamos a substituição $4^x=u$

$u^2+64=20u$

$u^2-20u+64=0$

Aplicamos Bhaskara:

$\triangle=(-20)^2-4\cdot 1\cdot 64=400-256=144$

$u_1=\frac{20+\sqrt{144} }{2} =\frac{20+12}{2}=\frac{32}{2}=16$

$u_2=\frac{20-\sqrt{144} }{2} =\frac{20-12}{2}=\frac{8}{2}=4$

Convertemos de volta estes "u" para "x":

$4^{x_1}=u_1$

$4^{x_1}=16$

$4^{x_1}=4^2$

$x_1=2$

$4^{x_2}=u_2$

$4^{x_2}=4$

$x_2=1$

Esta equação assume o seguinte conjunto solução:

$S=\{1,\ 2\}$

2) $3^{x+1}+3^{x-2}-3^{x-3}+3^{x-4}=750$

$3^x\cdot 3+3^x\cdot 3^{-2}-3^x\cdot3^{-3}+3^x\cdot 3^{-4}=750$

$3^x(3+3^{-2}-3^{-3}+3^{-4})=750$

$3^x(3+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4})=750$

$3^x(3+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81})=750$

$3^x(\frac{243}{81}+\frac{9}{81}-\frac{3}{81}+\frac{1}{81})=750$

$3^x\cdot \frac{250}{81}=750$

$3^x=750\div \frac{250}{81}$

$3^x=750\cdot \frac{81}{250}$

$3^x=\frac{750\cdot 81}{250}$

$3^x=\frac{3\cdot250\cdot81}{250}$

$3^x=3\cdot 81$

$3^x=243$

$3^x=3^5$

$x=5$

O conjunto solução desta equação é:

$S=\{5\}$

3) Antes de tudo vamos simplificar as duas equações do sistema:

$3^{x+y}=1$

$3^{x+y}=3^0$

$x+y=0$

$2^{x+2y}=2$

$x+2y=1$

Agora recriamos e resolvemos o sistema com as versões simplificadas destas equações:

$\left \{ {{x+y=0} \atop {x+2y=1}} \right.$

$(x+2y)-(x+y)=1-0$

$x+2y-x-y=1$

$y=1$

$x+y=0$

$x+1=0$

$x=-1$

4) $10^{3x-1} > 100^x$

$10^{3x-1} > (10^2)^x$

$10^{3x-1} > 10^{2x}$

Quando a potência de base 10 da esquerda vai ser maior que a potência de base 10 da direita? Quando o expoente da potência da esquerda for maior que o expoente da potência da direita:

$3x-1 > 2x$

$3x-2x > 1$

$x > 1$

A desigualdade será válida para qualquer valor real de x que seja maior que 1. Em linguagem matemática teremos o seguinte conjunto solução:

$S=\{x\in R\ |\ x > 1\}$