Question

Alguém pode ajudar? heelp

Answer 1

Sejam $r$ e $s$ duas retas que possuem coeficientes angulares $m_{r}$ e $m_{s}\,,$ respectivamente.

As retas $r$ e $s$ são perpendiculares se, e somente se

$\boxed{\begin{array}{c}m_{r}\cdot m_{s}=-1 \end{array}}$


Obs.: Note que essa regra só vale se os valores de $m_{r}$ e $m_{s}$ existirem e não forem iguais a zero. Lembre-se de que existem retas cujo coeficiente angular não existe (retas verticais), e retas cujo coeficiente angular é zero (retas horizontais).

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a) $r:~~y=3x-1$

A equação de $r$ já está na forma reduzida. Da equação reduzida, tiramos diretamente o coeficiente angular de $r:$

$m_r=3$


Estamos procurando uma reta $s$ que seja perpendicular a $r.$ Logo, o coeficiente angular da reta procurada deve satisfazer

$m_r\cdot m_s=-1\\\\ m_s=-\,\dfrac{1}{m_r}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} m_s=-\,\dfrac{1}{3} \end{array}}$


A reta $s$ procurada é a reta que passa pelo ponto $P(2,\,-3)\,,$ com coeficiente angular $m_s=-\frac{1}{3}:$

$s:~~y-y_{_{P}}=m_s\cdot (x-x_{_{P}})\\\\ s:~~y-(-3)=-\,\dfrac{1}{3}\cdot (x-2)\\\\\\ s:~~y+3=-\,\dfrac{1}{3}\,x+\dfrac{2}{3}\\\\\\ s:~~y=-\,\dfrac{1}{3}\,x+\dfrac{2}{3}-3\\\\\\ s:~~y=-\,\dfrac{1}{3}\,x+\dfrac{2}{3}-\dfrac{9}{3}\\\\\\ s:~~y=-\,\dfrac{1}{3}\,x+\dfrac{2-9}{3}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} s:~~y=-\,\dfrac{1}{3}\,x-\dfrac{7}{3} \end{array}}$

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b) $r:~~2x-5y-11=0$

Colocando a equação da reta na forma reduzida para obtermos o coeficiente angular:

(isolando $y$ em função de $x$ )

$r:~~5y=2x-11\\\\ r:~~y=\dfrac{2}{5}\,x-\dfrac{11}{5}$

O coeficiente angular da reta $r$ dada é $m_r=\dfrac{2}{5}.$


Queremos encontrar a reta $s$ perpendicular a $r.$ Logo,

$m_r\cdot m_s=-1\\\\ m_s=-\,\dfrac{1}{m_r}\\\\\\ m_s=-\,\dfrac{1}{\big(\frac{2}{5}\big)}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}m_s=-\,\dfrac{5}{2} \end{array}}$


A reta $s$ procurada é a reta que passa pelo ponto $P(2,\,-3)\,,$ com coeficiente angular $m_s=-\frac{5}{2}:$

$s:~~y-y_{_{P}}=m_s\cdot (x-x_{_{P}})\\\\\\ s:~~y-(-3)=-\,\dfrac{5}{2}\cdot (x-2)\\\\\\ s:~~y+3=-\,\dfrac{5}{2}\,x+5\\\\\\ s:~~y=-\,\dfrac{5}{2}\,x+5-3\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}s:~~y=-\,\dfrac{5}{2}\,x+2 \end{array}}$