Question

alguém para me ajudar

Answer 1

6) 27ª Derivada de Cos(x). Vamos ir derivando e analisar o que acontece :

$1. [Cos(x)]' = -Sen(x)$

$2. [-Sen(x)]' = -Cos(x)$

$3. [-Cos(x)]' = Sen(x)$

$4. [ Sen(x) ] = Cos(x)$

Perceba que a cada 4 derivadas o ciclo se reinicia. Como é pra derivar 27 vezes, então basta dividir por 4 ( ciclos fechados ) e derivar a quantidade do resto.

$\displaystyle \frac{27}{4} = 6 , resto = 3$

Vamos derivar mais 3 vezes.

$1. [cos(x)]' = - sen(x)$

$2. [-Sen(x)]' = -Cos(x)$

$3. [-Cos(x)]' = Sen(x)$

Portanto , a 27ª derivada de Cos(x) é igual a Sen(x)

7) Derivada de:

$y = 5.Cotg(x).Tg(x).Cos(x)$

simplificando :

$\displaystyle y = 5.\frac{1}{Tg(x)}.Tg(x).Cos(x)$

$y = 5.Cos(x)$

derivando :

$\huge\boxed{y' = -5.Sen(x) }$

8)Derivada de :

$\displaystyle f(x) = \frac{5.e^{3x}}{e^{2x}} + 3.Ln(x)$

Simplificando :

$\displaystyle f(x) = 5.e^{3x-2x} + 3.Ln(x)$

$\displaystyle f(x) = 5.e^{x} + 3.Ln(x)$

derivando :

$\huge \boxed{\displaystyle f'(x) = 5.e^x.1 + \frac{3}{x} }$

9)  $\displaystyle \frac{dy}{dx}$  (Derivada de y em relação a x)  de :

$y = Log_{\ 5} (e)^{x}$

usando a propriedade de log :

$y = x.Log_{\ 5}(e)$

fazendo uma mudança de base :

$\displaystyle y = x. \frac{Ln(e)}{Ln(5)}$

sendo $Ln = Log_{\ e }$, então : $Ln(e) = 1$, logo :

$\displaystyle y = x.\frac{1}{Ln(5)}$

derivando :

$\huge\boxed{\displaystyle y' = \frac{1}{Ln(5)} }$

10) Derivada pela definição de :

$f(x) = x^2-x$

para provar que :

$f'(x) = 2x-1$

OBS : Lembrando que a derivada pela definição é :

$\fbox{\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x) }{h} }$

Derivando pela definição :

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{[(x+h)^2-(x+h)] - [ x^2-x ] }{h }$

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^2+2.x.h+h^2 -x-h - x^2+x }{h }$

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2.x.h+h^2-h }{h }$

Colocando o h em evidência e simplificando :

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h.(2.x+h-1) }{h }$

$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0}(2.x+h-1)$

fazendo $h \to 0$

$f'(x) = 2x + 0 - 1$

$\huge\boxed{f'(x) =2x-1 }$

Mostradoo !!