Question

Alguém para ajudar, urgenteee!!

Answer 1

Sendo a circunferência uma circunferência trigonométrica, sabemos que o raio é de uma unidade

a)

Achando a equação da circunferência:

$x^{2}+y^{2}=r^{2}\\x^{2}+y^{2}=1^{2}\\x^{2}+y^{2}=1$
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Sabemos que o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros, logo o triângulo OAB é equilátero, tendo ângulo interno igual a 60º

A reta que passa por O e B terá como coeficiente angular, portanto, a tangente de 60º:

$a=tg~60\º=\sqrt{3}$

Equação da reta que passa por O e B:

$y=\sqrt{3}x+b$

Substituindo as coordenadas do ponto O na equação:

$0=\sqrt{3}\cdot0+b\\b=0$

Logo: $\boxed{y=\sqrt{3}\cdot x}$
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Sabemos que B é o ponto de interseção entre a circunferência e a reta, logo:

$x^{2}+y^{2}=1\\x^{2}+(\sqrt{3}x)^{2}=1\\x^{2}+3x^{2}=1\\4x^{2}=1\\x^{2}=1/4\\x=\pm\sqrt{1/4}\\x=\pm1/2$

Achando os valores de y:

$x^{2}+y^{2}=1\\(\pm1/2)^{2}+y^{2}=1\\(1/4)+y^{2}=1\\y^{2}=1-(1/4)\\y^{2}=3/4\\y=\pm\sqrt{3/4}\\y=\pm\sqrt{3}/2$

Logo, temos os 4 pontos provindos desses valores de x e y, além dos pontos A e D, que são respectivamente (1,0) e (-1,0)

Vértices:

$A(1,0)\\\\B\left(\dfrac{1}{2},~\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\\\\\C\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\\\\\D(-1,0)\\\\E\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\\\\\F\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

b)

Sabendo que o hexágono é formado por seis triângulos equiláteros, podemos perceber que o lado do hexágono é igual ao raio da circunferência

$l=r\\l=1$

Calculando o perímetro do hexágono:

$2P=l+l+l+l+l+l\\2P=6l\\2P=6\cdot1\\2P=6$

Calculando a área do hexágono:

$A=\dfrac{3l^{2}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\cdot1^{2}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$