Question

Alguém me explica essa questão agradeço: determine os valores de x para os quais (x,1,1) ,(1,-1,0), (2,1,-1) são vertices de um triangulo cuja área vale raiz de 20 sobre 2. obrigada!

Answer 1

Se debe verificar

$\left|\begin{matrix} x&1&1\\ 1&-1&0\\ 2&1&-1 \end{matrix}\right|\neq 0 \iff x+4\neq 0 \iff x\neq -4$

Área

Sean los vectores $\vec u = (x.,1,1)-(1,-1,0) = (x-1,2,1)\\\\ \vec v = (2,1,-1)-(1,-1,0)=(1,2,-1)$

$\displaystyle A=\frac{1}{2}|\vec u\times \vec v| =\frac{1}{2}\left\|\det\left(\begin{matrix} i&j&k\\x-1&2&1\\ 1&2&-1 \end{matrix}\right)\right\|=\frac{1}{2}\|(-4,x,2x-4)\|\\ \\ A=\frac{1}{2}\sqrt{16+x^2+(2x-4)^2}\\ \\ A=\frac{1}{2}\sqrt{5x^2 - 16x + 32}\\ \\ \frac{\sqrt{20}}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{5x^2 - 16x + 32}\\ \\ 5x^2 - 16x + 32 = 20\\ \\ 5x^2 - 16x + 12 = 0\\ \\ (x-2)(5x-6)=0\\ \\ x\in\left\{\frac{5}{6},2\right\}$