Question

Alguém me explica como fazer produtos notáveis seus significados.

Answer 1

1.    O quadrado da soma de dois termos

Verifiquem a representação e utilização da propriedade da potenciação em seu desenvolvimento.

(a + b)2 = (a + b) . (a + b)

Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.

Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

Exemplos

2.    O quadrado da diferença de dois termos

Seguindo o critério do item anterior, temos:

(a - b)2 = (a - b) . (a - b)

Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.

 Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação, teremos:

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:

3. O produto da soma pela diferença de dois termos

Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos transformá-lo numa diferença de quadrados.

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

Exemplos

(4c + 3d).(4c – 3d) = (4c)2 – (3d)2 = 16c2 – 9d2(x/2 + y).(x/2 – y) = (x/2)2 – y2 = x2/4 – y2(m + n).(m – n) = m2 – n2

4. O cubo da soma de dois termos

Consideremos o caso a seguir:

(a + b)3 = (a + b).(a + b)2 → potência de mesma base.

(a + b).(a2 + 2ab + b2) → (a + b)2

Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo.

Exemplos:

(2x + 2y)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.(2y) + 3.(2x).(2y)2 + (2y)3 = 8x3 + 24x2y + 24xy2 + 8y3(w + 3z)3 = w3 + 3.(w2).(3z) + 3.w.(3z)2 + (3z)3 = w3 + 9w2z + 27wz2 + 27z3(m + n)3 = m3 + 3m2n + 3mn2 + n3

5. O cubo da diferença de dois termos

Acompanhem o caso seguinte:

(a – b)3 = (a - b).(a – b)2 → potência de mesma base.

 (a – b).(a2 – 2ab + b2) → (a - b)2

Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo.

Exemplos

(2 – y)3 = 23 – 3.(22).y + 3.2.y2 – y3 = 8 – 12y + 6y2 – y3 ou y3– 6y2  +  12y – 8(2w – z)3 = (2w)3 – 3.(2w)2.z + 3.(2w).z2 – z3 = 8w3 – 12w2z + 6wz2 – z3(c – d)3 = c3 – 3c2d + 3cd2 – d3

Espero ter ajudado,bons estudos!

Referências bibliográficas:

https://www.infoescola.com/matematica/produtos-notaveis/