Question

alguém me ajude a responder. determinar o vetor v, sabendo que I v I = 5, v é ortogonal do eixo 0z, v.w=6 e w=2j+3k. como resolver?

Answer 1

Olá Marykalle

Veja essas anotações e tome como base para o seu estudo de caso. 

Oz = (0 , 0 , 1) // significa um pequeno vetor, porém paralelo ao eixo z. 
w = (0 , 2 , 3) // esse vetor foi dado no enunciado do exercício. 
v = (x , y , z) // vetor que queremos encontrar, por isso vamos chamá-lo por coordenadas variaveis. 
v.u = 6 // informação dada no exercício. 
v.Oz = 0 // como sabe-se, o vetor "v" é ortogonal ao Oz, portanto o produto escalar de v e Oz = 0. 

Pois bem, vamos lá: 

1) v.u = (x , y , z).(0 , 2 , 3) 
v.u = (x.0) + (y).(2) + (z).(3) // fazendo o escalar dos vetores u e v. 
v.u = 2y+3z // como foi dado que v.u = 6 
6 = 2y+3z // organizando a equação. 

[ 2y + 3z = 6 ] // guarde esse valores, pois vamos precisar para projetar um sistema de equações 

2) Oz.v = (0 , 0 , 1).(x , y , z) // operando o produto escalar de v e Oz 
Oz.v = (0.x) + (0.y) + (1.z) // o escalar de v e Oz foi dado no exercício, sendo = 0, portanto: 
0 = z // organizando, teremos: 
z= 0 // guarde esse valor, pois vamos precisar para projetar um sistema de equações 

3) Juntado os resultados dos passo 1 e 2, podemos montar o seguinte sistema: 

2y + 3z = 6 
z = 0 
OBS: se estamos declarando que o valor de z = 0, temos a primeira coordenada do nosso vetor v. 

2y + 3(0) = 6 // substituindo o z por seu valor = 0. 
2y = 6 // isolando a variavel z, teremos 
y = 6/3 
y = 3 
OBS: Agora, temos os valores de duas variaveis de coordenadas do vetor v, sendo elas y = 3 e z = 0. 

4) Sabendo os valores de y e z, podemos observar que o enunciado nos mostra que o módulo do vetor v é = 5 e que o módulo de um vetor é dado por: 
| v | = raiz quadrada de: (x^2 + y^2 + z^2) 

no nosso caso, o módulo de v, ficará assim: 

| v | = raiz quadrada de: ( x^2 + (3)^2 + (0)^2 ) = 5 // valor dado no enunciado. 
| v | = raiz quadrada de: (x^2 + 9) = 5 // elevando ao ^2 os dois lados da equação, podemos eliminar a raiz quadrada. 

|x^2 + 9 = 25 
|x^2 = 16 // substituindo o ^2 do x por raiz quadrada no termo independente da equação, temos que: 
|x = 4 

5) Agora temos todas as coordenadas do vetor v. 
x = 4 
y = 3 
z = 0 

v=(4 , 3 , 0)