Question

Alguém me ajudaaa
Limite de quando x tende a 1
Limite de quando x tende a 9

Answer 1

Calculando os limites, temos

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{x \to 1} \frac{x^3-1}{x^2-1} =\frac{3}{2} \ \ \ \ e\ \ \ \ \lim_{t \to 9} \frac{9-t}{3-\sqrt{t} } =6 \end{gathered} }$

Desejamos calcular os seguintes limites

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{x \to 1} \frac{x^3-1}{x^2-1} \ \ \ \ e\ \ \ \ \lim_{t \to 9} \frac{9-t}{3-\sqrt{t} } \end{gathered} }$

De praxe devemos substituir o valor no qual x tende, caso der uma indeterminação matemática, devemos manipular a função de modo que conseguimos substituir o x tende sem dar um valor indeterminado

No caso da sua questão, vale resaltar duas propriedades básicas, que são de suma importancia para a resolução do seu exercício, sendo elas

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}a^2-b^2= \left(a+b\right)\left(a-b\right) \end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}a^3-b^3= \left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right) \end{gathered}$

Sabendo disso, vamos então resolver o primeiro limite dado, sabendo que após substituir o valor no qual x tente, esse limite fica indeterminado, do tipo 0/0, logo

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{x \to 1} \frac{x^3-1}{x^2-1} \Rightarrow \lim_{x \to 1} \frac{\cancel{(x-1)}(x^2+x+1)}{(x+1)\cancel{(x-1)}} \end{gathered} }$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lim_{x \to 1} \frac{x^3-1}{x^2-1} \Rightarrow \lim_{x \to 1} \frac{x^2+x+1}{x+1} \end{gathered}$

Agora sim, vamos substituir o valor no qual x tende e descobrir o valor que o limite tem

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{x \to 1} \frac{x^2+x+1}{x+1} =\frac{1^2+1+1}{1+1}=\ \therefore\ \boxed{\frac{3}{2}} \end{gathered} }$

Vamos agora resolver o segundo limite dado, sabendo que após substituir o t tende o limite assume um valor indetermidado, uma das formas de resolver esse segundo limite seria pelo conjugado.

O conjugado consiste na multiplicação com a operação inversa ( feito para remover um radical ) com a seguinte propriedade ( $\large\displaystyle\begin{gathered} \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} =a\end{gathered}$ ). Sabendo disso, logo

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{t \to 9} \frac{9-t}{3-\sqrt{t} } \Rightarrow \lim_{t \to 9} \frac{9-t}{3-\sqrt{t} } \cdot\frac{3+\sqrt{t} }{3+\sqrt{t} } \end{gathered} }$

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{t \to 9} \frac{9-t}{3-\sqrt{t} } \Rightarrow \lim_{t \to 9} \frac{\left(9-t\right) \left( 3+\sqrt{t}\right) }{\left(3-\sqrt{t}\right) \left(3+\sqrt{t} \right)} \end{gathered} }$

Atenção!!: Perceba que temos a mesma propriedade que eu havia dito na resolução do primeiro limite, apenas o inverso, temos então que

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{t \to 9} \frac{9-t}{3-\sqrt{t} } \Rightarrow \lim_{t \to 9} \frac{\cancel{\left(9-t\right)} \left( 3+\sqrt{t}\right) }{\cancel{\left(9-t\right)}} \end{gathered} }$

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \lim_{t \to 9} \frac{9-t}{3-\sqrt{t} } \Rightarrow \lim_{t \to 9} \left( 3+\sqrt{t}\right)\end{gathered} }$

Feito isso, agora é só substituir o valor no qual t tende e assim finalizar a questão :)

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} \lim_{t \to 9} \left( 3+\sqrt{t}\right)=3+\sqrt{9} =3+3=\ \therefore \ \boxed{6}\end{gathered}$

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