Question

Alguém me ajuda?
Se z = $\sqrt[3]{2 - \sqrt{5} } + \sqrt[3]{2 + \sqrt{5} }$ então é correto afirmar que:

a) z³ + 3z -1 = 0
b) z³ + 3z -2= 0
c) z³ + 3z - 3= 0
d) z³ + 3z -4 = 0
e) z³ + 3z -5 = 0

Com calculo

Answer 1

Marimari,

A ideia da questão é nos utilizarmos da identidade $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

Chamemos  a=$\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ e b=$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}$. Assim:

$z=a+b$      elevando ao cubo os dois lados:

$z^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$    vamos por em evidência 3ab nos fatores centrais, assim:

$z^3=a^3+3ab(a+b)+b^3$

Fazendo as substituições devidas, encontramos:

$a^3=(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^3\\ a^3=2-\sqrt{5}$

$b^3=(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})^3\\ b^3=2+\sqrt{5}$

$ab=(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})\\ ab=\sqrt[3]{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})}=\sqrt[3]{(2^2-(\sqrt{5})^2)}\\ ab= \sqrt[3]{4-5}= \sqrt[3]{-1}\\ab=-1$

assim,

$z^3=2- \sqrt{5} +3(-1)(a+b)+2+ \sqrt{5}\\ z^3=4-3(a+b)$
mas $a+b=z$, logo:

$z^3=4-3z\\ z^3+3z-4=0$

ALTERNATIVA D

Espero ter ajudado,

See Ya!