Question

Alguém me ajuda pra hoje por favor!

Um ponto C da bissetriz dos quadrantes ímpares é o centro de uma circunferencia a que passa pelos pontos A(2, 8) e B (4, -2). Obtenha a equação geral da circunferencia A.

Answer 1

A equação geral da circunferência é x² + y² - 6x - 6y - 8 = 0.

A equação da bissetriz dos quadrantes ímpares é y = x.

Como o ponto C pertence a essa reta, então podemos dizer que C = (x',x').

A equação reduzida de uma circunferência é da forma (x - x₀)² + (y - y₀)² = r², sendo (x₀,y₀) o centro e r o raio.

O enunciado nos diz que C é o centro da circunferência. Então, a equação da circunferência é:

(x - x')² + (y - x')² = r².

Os pontos A(2,8) e B(4,-2) fazem parte da circunferência. Logo:

(2 - x')² + (8 - x')² = r² e (4 - x')² + (-2 - x')² = r².

Igualando as duas equações:

(2 - x')² + (8 - x')² = (4 - x')² + (-2 - x')²

4 - 4x' + x'² + 64 - 16x' + x'² = 16 - 8x' + x'² + 4 + 4x' + x'²

-20x' + 68 = -4x' + 20

68 - 20 = 20x' - 4x'

48 = 16x'

x' = 3.

Portanto, o centro da circunferência é C = (3,3).

Precisamos calcular a medida do raio.

Para isso, podemos calcular a distância entre os pontos A e C:

r² = (3 - 2)² + (3 - 8)²

r² = 1² + (-5)²

r² = 1 + 25

r² = 26.

A equação da circunferência é (x - 3)² + (y - 3)² = 26.

A equação geral é:

x² - 6x + 9 + y² - 6y + 9 - 26 = 0

x² + y² - 6x - 6y - 8 = 0.