Question

Alguém me ajuda por gentileza? A figura abaixo mostra um triângulo equilátero de lado 3 cm inscrito em um hexágono de lado E. Calcule a área da região sombreada.

Answer 1

A área da região sombreada é (9√3)/4 cm².

Note que a área sombreada é igual à diferença entre a área do hexágono e a área do triângulo equilátero.

A área do triângulo equilátero pode ser calculada pela seguinte fórmula:

• $S=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$.

Como o lado desse triângulo é igual a 3 cm, então a sua área é igual a:

S' = (3²√3)/4

S' = (9√3)/4 cm².

Vamos calcular o lado do hexágono. Como os ângulos internos de um hexágono regular são iguais a 120º, então pela Lei dos Cossenos, temos que:

3² = E² + E² - 2.E.E.cos(120)

9 = 2E² - 2E².(-1/2)

9 = 2E² + E²

3E² = 9

E² = 3

E = √3 cm.

A área de um hexágono regular é igual a seis vezes a área de um triângulo equilátero. Então:

S'' = 6.((√3)²√3)/4

S'' = (18√3)/4 cm².

Portanto, a área sombreada é igual a:

S = (18√3)/4 - (9√3)/4

S = (9√3)/4 cm².