Question

ALGUEM ME AJUDA POR FAVORRR !!!!!!!!!!!!!!!1

Geometria Analitica

Escreva equações vetorial e parametricas para os planos descritos abaixo :

a) pi passa por A=(1,1,0) e B=(1,-1,-1) e é paralelo ao vetor=(2,1,0).
resolva e me explica como chegou

Answer 1

Para descrever a equaçao vetorial de um plano, precisamos de

$\bullet\;\;$ um ponto e dois vetores.


Se o plano $\alpha$ é paralelo ao vetor $\overrightarrow{\mathbf{v}}=(2,\;1,\;0),\,$ então $\alpha$ contém um representante deste vetor.

Se o plano $\alpha$ contém os pontos $A=(1,\;1,\;0)$ e $B=(1,\;-1,\;-1),\,$ então o $\alpha$ contém um representante do vetor $\overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{AB}.$
________________________________

Encontrando o vetor $\overrightarrow{\mathbf{w}}:$

$\overrightarrow{\mathbf{w}}=\overrightarrow{AB}\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{w}}=B-A\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{w}}=(1,\;-1,\;-1)-(1,\;1,\;0)\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{w}}=(1-1,\;-1-1,\;-1-0)\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{w}}=(0,\;-2,\;-1)$

________________________________________________

Uma equação vetorial para o plano $\alpha$ é a equação do plano que passa pelo ponto $A$ e é gerado pelos vetores $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{w}}:$

$\alpha:~X=A+\lambda\overrightarrow{\mathbf{v}}+\mu\overrightarrow{\mathbf{w}}\\ \\ \boxed{\begin{array}{c}\alpha:~(x,\;y,\;z)=(1,\;1,\;0)+\lambda\,(2,\;1,\;0)+\mu\,(0,\;-2,\;-1) \end{array}}$

com $\lambda,\;\mu\in\mathbb{R}.$
______________________________________________

Da equação vetorial, podemos igualar as coordenadas dos pontos dos dois lados da igualdade, e obteremos equações paramétricas para $\alpha:$

$\alpha:~(x,\;y,\;z)=(1,\;1,\;0)+(2\lambda,\;1\lambda,\;0)+(0,\;-2\mu,\;-1\mu)\\ \\ \\ \alpha:~(x,\;y,\;z)=(1+2\lambda,\;1+\lambda-2\mu,\;-\mu)$


Então, uma possibilidade para as equações paramétricas do plano $\alpha$ é:

$\begin{array}{cc} \boxed{\alpha:~\begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{l} x=1+2\lambda\\ y=1+\lambda-2\mu\\ z=-\mu \end{array} \right. \end{array}}~~&~~\text{com }\lambda,\,\mu\in \mathbb{R}. \end{array}$