Question

42)Resolva a equação log (x+4)+ log (x+4) = 2 log3
56) Resolva as equaçoes: a-log5 (x) + log15 (x)=3 b- logx (4) + log2 (x)=3
55) simplifique a expressão: a- log3 (5) * log4 (27) * log25 (raiz cubica de 2).
54)Calcule o produto log3(2)*log2(5)*log5(3)
53)sendo logx a=6, logx b=4 e logx c=2 calcule: A-Logc(raiz quadrada de ABC B-logc( a sobre 3 * b sobre 2)
ME AJUDEM

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se:

56) Resolva as equações abaixo:

a) log₅ (x)  + log₁₅ (x) = 3 <---- Nesta equação você terá que informar se é isso mesmo: temos logaritmo de "x" na base "5" MAIS logaritmo de (x) na base "15", é isso mesmo? As bases não seriam as mesmas? Portanto, esta questão precisamos de explicação.

b) logₓ (4) + log₂ (x) = 3 ---- vamos transformar a base "x" em base "2". Assim, faremos:

logₓ (4) = log₂ (4)/log₂ (x) ----- substituindo, teremos:

log₂ (4)/log₂ (x) + log₂ (x) = 3 ----- mmc = log₂ (x). Assim, utilizando-o em toda a expressão, teremos:

1*log₂ (4) + log₂ (x)*log₂ (x) = 3*log₂ (x) ---- ou apenas:
log₂ (4) + [log₂ (x)]² = 3log₂ (x) ----- agora note que: log₂ (4) = 2. Assim:
2 + [log₂ (x)]² = 3log₂ (x) ----- vamos passar o 2º membro para o 1º e vamos ordenar tudo, ficando assim:

[log₂ (x)]² - 3log₂ (x) + 2 = 0 ---- vamos fazer log₂ (x) = k. Assim, ficaremos com:

k² - 3k + 2 = 0 ---- aplicando Bháskara, você encontra as seguintes raízes:

k' = 1
k'' = 2.

Mas veja que fizemos log₂ (x) = k. Então:

i) Para k = 1, teremos:

log₂ (x) = 1 ---- veja que, conforme a definição de logaritmos, isto é a mesma coisa que:

2¹ = x
2 = x --- ou apenas:
x = 2 <--- Esta é uma resposta válida.

ii) Para k = 2, teremos:

log₂ (x) = 2 ----- veja que, conforme a definição de logaritmos, isto é a mesma coisa que:

2² = x
4 = x --- ou:
x = 4 <--- Esta é outra resposta válida.

iii) Assim, para o item "b" da questão 56, teremos que: 

x = 2, ou x = 4. <--- Esta é a resposta para o item "b" da questão "56".
Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da seguinte forma:

S = {2; 4}

55) simplifique a expressão abaixo (que vamos chamar de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa):

y =  log₃ (5) * log₄ (27) * log₂₅ (∛2)

Agora veja que: 4 = 2²; 27 = 3³; 25 = 5² e ∛2 = 2¹/³. Assim, fazendo essas substituições, teremos:

y = log₃ (5) * log₂² (3³) * log₅² (2¹/³)

Agora note mais isto: o INVERSO do expoente da base passa a multiplicar o respectivo logaritmo, então vamos ficar da seguinte forma:

y = log₃ (5) * (1/2)*log₂ (3³) * (1/2)*log₅ (2¹/³) ---- agora vamos passar os expoentes dos logaritmandos multiplicando, ficando assim:

y = log₃ (5) * 3*(1/2)log₂ (3) * (1/3)*(1/2)*log₅ (2)
y = log₃ (5) * (3/2)*log₂ (3) * (1/6)*log₅ (2)

Agora note que poderemos fazer assim: dividimos a base "3" do primeiro logaritmo,com o logaritmando "3" do segundo logaritmo, ficando assim:

y =(3/2)*log₂ (5) * (1/6)*log₅ (2) 

Agora faremos assim: dividiremos a base "2" do primeiro logaritmo com o logaritmando "2" do segundo logaritmo e o logaritmando "5" do primeiro com a base "5" do segundo logaritmo, ficando apenas assim:

y = (3/2)*(1/6)
y = 3*1/2*6
y = 3/12 ------ dividindo-se numerador e denominador por "3", ficaremos apenas com:

y = 1/4 <--- Esta é a resposta para a questão "55".

54) Calcule o produto abaixo:

y = log₃ (2)*log₂ (5)*log₅ (3) ---- veja que poderemos dividir a base "3" do primeiro logaritmo com o logaritmando "3" do último logaritmo, e dividir o logaritmando "2" do 1º logaritmo com a base "2" do segundo logaritmo, ficando assim:

y = log₅ (5) = 1 <--- Esta é a resposta para a questão "54".

53) sendo: logₓ (a) = 6; logₓ (b) = 4; logₓ (c) = 2, pede-se o valor de:

i) logc [√abc] --- veja que o "c" inicial é a base. Colocamos assim porque não existe outro jeito de colocar o "c" como base. Assim, chamando de um certo "y", teremos isto:

logc [√abc] = y ----- mudando a base "c" para a base "x", teremos isto:

logₓ [√abc]/logₓ (c) = y ----- note que √abc = (abc)¹/². Assim:
logₓ (abc)¹/² / logₓ (c) = y ----- passando o expoente multiplicando, temos:

(1/2)*logₓ (abc) / logₓ (c) = y ---- transformando o produto em soma, temos:

(1/2)*[logₓ (a) + logₓ (b) + logₓ (c)]/logₓ (c) = y.

Mas veja que: logₓ (a) = 6; logₓ (b) = 4; e logₓ (c) = 2. Assim, substituindo, teremos:

(1/2)*[6 + 4 + 2]/2 = y
(1/2)*[12]/2 = y ---- ou:
y = 12*(1/2*2)
y = 12*1/4
y = 12/4
y = 3 <--- Esta é a resposta para o item "a" da questão 53.

b) logc [(a/3)*(b/2)] = y
logc [a*b/3*2] = y
logc [ab/6] = y ----- vamos passar a base "c" para a base "x", ficando:

logₓ [ab/6] / logx (c) = y ----- transformando o produto em soma, temos:
[logₓ (a/6) + logₓ (b/6)] / logₓ (c) = y--- transformando a divisão em subtração, teremos:

[logₓ (a) - logₓ (6) + logₓ (b) - logₓ (6)]/logₓ (c) = y ----- fazendo as devidas substituições, teremos (veja que logₓ (a) = 6; logₓ (b) = 4; e logₓ (c) = 2):

[6 - logₓ (6) + 4 - logₓ (6)]/2 = y
[10 - 2logₓ (6)] / 2 = y ---- dividindo numerador e denominador por "2", ficaremos apenas com:

[5 - logx (6) = y ---- ou,o que é a mesma coisa:
y = 5 - logx (6) <--- Esta é a resposta para o item "b" da questão 53.

OK?
Adjemir.