Question

Alguém me ajuda por favor?

Jovens astrônomos participam de um projeto de levantar novas informações sobre um novo planeta descoberto com condições climáticas semelhantes às da Terra. Uma das informações refere-se à descoberta da maior e da menor distância do planeta à sua estrela quando ele realiza sua órbita ao redor dela. Para isso, foi levantada a equação da órbita elíptica do planeta ao redor de sua estrela:

$\frac{ X^{2} }{ 130^{2} } + \frac{ Y^{2} }{ 120^{2} }$

Os valores de X e Y referem-se às coordenadas do planeta na sua órbita em torno da estrela e são dados em milhões de km. A estrela localiza-se em um dos focos da elipse. A maior e a menor distância do planeta em relação à sua estrela, é, em milhões de km, igual a....

Answer 1

Marimari,

relembremos as características da função elíptica expressa como:

$\frac{(x- x_{o})^2}{a^2} + \frac{(y- y_{o})^2}{b^2} =1$

onde, no plano xy:

$x_{o}$  e$y_{o}$ são as coordenadas do centro da elipse;

$a$ é a distância do centro até o vértice maior da elipse. (nesse caso, no eixo horizontal);

$b$ é a distância do centro até o vértice menor da elipse. (nesse caso, no eixo vertical) e

$c$ é a distância do centro da elipse até um dos focos da elipse.

Com algumas manipulações geométricas, se chega à relação:

$a^2=b^2+c^2$ (1)

Contudo, vamos à expressão dada:

$\frac{x^2}{130^2} + \frac{y^2}{120^2} =1$

Para viés didático, observe que centro da órbita em torno da estrela, no plano xy, tem coordenada ($x_{o}=0$ e $y_{o}=0$).

Agora, considere que a estrela está em um dos focos (F1 ou F2). Eu escolherei F2:

A maior distância do planeta em relação a estrela é justamente representada quando este estiver no ponto A1(observe a figura!). A distância de A1 até F2, pode ser dada por:
d(A1,F2)=$a+c$

A menor distância será possível quando o planeta estiver em A2(observe a figura), podendo ser representada por:

d(A2,F2)=$a-c$

Agora, para obtermos c, por (1):

$a^2=b^2+c^2$

tendo a=130 e b=120:

$130^2=120^2+c^2\\ c^2=130^2-120^2=2500\\ c=50$

Com c em mãos:

MAIOR DISTÂNCIA = d(A1,F2)=$a+c = 130+50=180$

MENOR DISTÂNCIA= d(A2,F2)$a-c=130-50=80$

Espero ter ajudado,

See Ya!