Question

Alguem me ajuda ( Numeeos Complexos) (√2 + √2i)^3

Answer 1

Por De Moivre :

z = a + b * i
No caso, z = √2 + √2* i

|z| (módulo de Z) = √(a² + b²)
No caso, a e b = √2

|z| = √(√2² + √2²)
|z| = √(2 + 2)
|z| = √4
|z| = 2 (|z| > 0, então descarta-se a raiz negativa)

z = |z| * (cos θ + sen θ * i) , onde θ é o argumento

cos θ = a / |z|
cos θ = √2 / 2

sen θ = b / |z|
sen θ = √2 / 2

Sendo cos e sen (θ) > 0, então θ é do 1º quadrante e é 45° (ou π/4)

z = 2 * (cos (45°) + sen (45º)* i)
(ou z = 2 * (cos (π/4) + sen (π/4) * i))


Fórmula de De Moivre : 
z^n = |z|^n * (cos (θ * n) + sen (θ * n) * i) , onde n é o expoente 

Sendo z = 2 * (cos (45°) + sen (45º)* i) e n = 3 :

z³ = 2³ * (cos (45º * 3) + sen (45º * 3) * i)
z³ = 8 * (cos 135° + (sen 135°) * i)

Como 135º é 45º no segundo quadrante (sen > 0 e cos < 0), então :
cos 135º = - (cos 45º) e sen 135° = sen 45°

z³ = 8 * (- (cos  45°) + (sen 135°) * i)
z³ = 8 * (-√2 / 2 + √2 / 2 * i) ⇒ distributiva : 

z³ = -4 * √2 + 4 * √2 * i