Question

Alguém me ajuda nessa questão sobre o Teorema de Pitágoras,pfv!!!!É a questão 7!!!15 pts

Answer 1

Questão 6:

Suponhamos que a medida do cateto $AB$ seja $y.$

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo $ABD:$

$x^2+y^2=5\\\\ y^2=5-x^2~~~~~~\mathbf{(i)}$


Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo $ABC:$


$(3+x)^2+y^2=6^2\\\\ (3+x)^2+y^2=36$


Substituindo acima $y^2$ pela expressão em $\mathbf{(i)},$ temos

$(3+x)^2+(5-x^2)=36\\\\ 9+6x+x^2+5-x^2=36\\\\ 9+6x+5=36\\\\ 6x+14=36\\\\ 6x=36-14\\\\ 6x=22\\\\ x=\dfrac{22}{6}\begin{array}{c}^{\div 2}\\^{\div 2} \end{array}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} x=\dfrac{11}{3} \end{array}}$

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Questão 7:

Sejam $x$ e $y$ as medidas dos catetos de um triângulo retângulo.

As medianas relativas aos catetos deste triângulo acabam virando hipotenusas de dois novos triângulos retângulos.


Sendo assim, aplicando o Teorema de Pitágoras aos novos triângulos, devemos ter

$\left\{ \!\begin{array}{lc} \left(\dfrac{x}{2} \right )^{\!\!2}+y^2=(6\sqrt{5})^2&~~~~\mathbf{(i)}\\\\ x^2+\left(\dfrac{y}{2} \right )^{\!\!2}=(2\sqrt{15})^2&~~~~\mathbf{(ii)} \end{array} \right.$


Da equação $\mathbf{(i)},$ tiramos

$\left(\dfrac{x}{2} \right )^{\!\!2}+y^2=(6\sqrt{5})^2\\\\\\ \dfrac{x^2}{4}+y^2=36\cdot 5\\\\\\ \dfrac{x^2}{4}+y^2=180\\\\\\ \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{4y^2}{4}=180\\\\\\ \dfrac{x^2+4y^2}{4}=180\\\\\\ x^2+4y^2=180\cdot 4\\\\ x^2+4y^2=720\\\\ x^2=720-4y^2~~~~~~\mathbf{(iii)}$


Na equação $\mathbf{(ii)},$ substituindo $x^2$ pela expressão em $\mathbf{(iii)}$ acima, temos

$(720-4y^2)+\left(\dfrac{y}{2} \right )^{\!\!2}=(2\sqrt{15})^2\\\\\\ 720-4y^2+\dfrac{y^2}{4}=4\cdot 15\\\\\\ 720-4y^2+\dfrac{y^2}{4}=60\\\\\\ \dfrac{4\cdot (720-4y^2)}{4}+\dfrac{y^2}{4}=60\\\\\\ \dfrac{2\,880-16y^2}{4}+\dfrac{y^2}{4}=60\\\\\\ \dfrac{2\,880-16y^2+y^2}{4}=60$

$\dfrac{2\,880-15y^2}{4}=60\\\\\\ \dfrac{\diagup\!\!\!\!\! 15\cdot (192-y^2)}{4}=\diagup\!\!\!\!\! 15\cdot 4\\\\\\ \dfrac{192-y^2}{4}=4\\\\\\ 192-y^2=4\cdot 4\\\\ 192-y^2=16\\\\ y^2=192-16\\\\ y^2=176\\\\ y^2=\sqrt{176}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}y=16 \end{array}}$


Encontrando a medida do cateto $x:$

$x^2=720-4y^2\\\\ x^2=720-4\cdot 176\\\\ x^2=720-704\\\\ x^2=16\\\\ x=\sqrt{16}\\\\ \boxed{\begin{array}{c} x=4 \end{array}}$


O menor cateto é $x,$ que mede $4$ unidades.