Alguém me ajuda com a 5 pfvr pfvr
Soluções para a tarefa
Resposta:
b) 6
Explicação passo-a-passo:
Temos uma PG, onde:
a soma de 3 elementos = 26, e o produto desses = 216. Calcular o termo médio.
Seja an, an+1 e an+3 os 3 termos da PG, logo temos que:
an+1 = an.q
an+2 = an. q^2
Logo:
an + an+1 + an+2 = 26
an + an.q + an.q^2 = 26
an.(1 + q + q^2) = 26
1 + q + q^2 = 1.(q^3 - 1)/(q - 1) (Soma dos 3 primeiros termos de uma PG), logo
an.(q^3 - 1)/(q - 1) = 26 (I)
an. an+1. an+2 = 216, logo:
an. an.q. an.q^2 = 216
an^3. q^3 = 216 (II)
Temos então o sistema:
an.(q^3 - 1)/(q - 1) = 26 (I)
an^3. q^3 = 216 (II)
De (I) temos que:
an = 26.(q -1)/(q^3 -1)
Substituindo an em (II):
an^3. q^3 = 216
[26.(q -1)/(q^3 -1)]^3. q^3 = 216
[26.(q -1)/(q^3 -1)]^3 = 216/(q^3)
26.(q -1)/(q^3 -1) = raizcub[216/(q^3)]
26.(q -1)/(q^3 -1) = 6/q
26.(q -1)= 6.(q^3 -1)/q
13.(q -1).q = 3.(q^3 -1)
13.q^2 - 13.q = 3.q^3 -3
3.q^3 - 13.q^2 + 13.q - 3 = 0
Podemos ver que q=1 é uma raiz do polinômio. Dividindo o polinômio por q-1 reduzimos o mesmo a um polinômio do 2o. grau:
3.q^3 - 13.q^2 + 13.q - 3 | q - 1
------------
3.q^2 -10.q +3
-3.q^3 +3.q^2
--------------------
0 -10.q^2 + 13.q
10.q^2 - 10.q
--------------------
0 3.q - 3
-3.q + 3
------------
0 0
Logo, para 3.q^2 -10.q +3 = 0, o valor de delta é:
delta= (-10)^2 -4.3.3 = 100 - 36 = 64
Portanto:
q= (10 +/- raiz(delta))/(2.3)
q= (10 +/- raiz(64))/6
q= (10 +/- 8)/6
q''= (10+8)/6 = 3
q'''= (10-8)/6 = 1/3
Logo, temos 3 valores para q: 1/3, 1 e 3.
Calculando an:
an.(q^3 - 1)/(q - 1) = 26
Para q=1/3:
an.((1/3)^3 - 1)/(1/3 - 1) = 26
an.(1/27 - 1)/(-2/3) = 26
an. (-26/27)/(-2/3) = 26
an. (-26/27).(3/-2) = 26
an. (13/9) = 26
an= 26.9/13 = 18
Logo a PG é: 18, 6, 2
18+6+2 = 16 (ok)
18.6.2 = 216 (ok)
Para q=1:
an.(1^3 - 1)/(1 - 1) = 26
an.0 = 26.0
an.0=0 (Indeterminado valor para an)
Para q=3:
an.(3^3 - 1)/(3 - 1) = 26
an.(27 -1)/2 = 26
an.26/2 = 26
an= 26.2/26
an= 2
Logo a PG é: 2, 6, 18
2+6+18 = 16 (ok)
2.6.18 = 216 (ok)
Portanto, o termo médio da PG (an+1) é 6.
Blz?
Abs :)