Question

Alguém me ajuda a entender porque a resposta é essa ?

Answer 1

Existe mais de uma maneira de resolver este exercício, você pode utilizar o Teorema de Tales (semelhança de triângulos) ou o conceito de função da reta.

Pelo Teorema de Tales, considere que o segmento que vai do 2 até o vértice (ponto onde a reta t encontra o eixo das abcissas) vale K. Então temos um triângulo com base K e altura 2.

Fazendo a semelhança de triângulos, temos que:

$\dfrac{K}{2}= \dfrac{K+2}{x}$

Assim sendo:

$K \cdot x= 2 \cdot (K + 2)$

$K \cdot x = 2 \cdot K + 4$

$K \cdot x - 2 \cdot K = 4$

$K \cdot (x - 2)= 4$

$K= \dfrac{4}{x-2}$

Agora, fazendo mais uma semelhança de triângulos entre o menor e o que tem altura y:

$\dfrac{K}{2} = \dfrac{K+2+x}{y}$

Substituindo K:

$\dfrac{\left(\dfrac{4}{x-2}\right)}{2} = \dfrac{\dfrac{4}{x-2}+2+x}{y}$

$\dfrac{4}{2 \cdot (x - 2)} = \dfrac{\dfrac{4}{x-2}+2+x}{y}$

Multiplico cruzado:

$4 \cdot y =2 \cdot (x - 2)\cdot \left(\dfrac{4}{x-2}+2+x\right)$

$4 \cdot y =8 +4\cdot (x - 2)+2 \cdot x\cdot (x - 2)$

$4 \cdot y =8 +4\cdot x - 8+2 \cdot x^2 - 4 \cdot x$

Vários termos se anulam:

$4 \cdot y =2 \cdot x^2$

Assim:

$y = \dfrac{x^2}{2}$

Agora fazendo mais uma semelhança de triângulos, entre o triângulo de altura 2 e o triângulo de altura 15:

$\dfrac{K}{2} = \dfrac{K+x+y+2}{15}$

Substituindo K:

$\dfrac{4}{2 \cdot (x - 2)} = \dfrac{\dfrac{4}{x-2}+2+x + y}{15}$

Multiplico cruzado:

$4 \cdot 15 = 8 + 4 \cdot (x - 2) +2 \cdot x \cdot (x-2) + 2 \cdot y \cdot (x-2)$

$60 = 8 + 4 \cdot x - 8 +2 \cdot x^2 - 4 \cdot x+ 2 \cdot x \cdot y-4 \cdot y$

Vários termos se anulam:

$60 =2 \cdot x^2+ 2 \cdot x \cdot y-4 \cdot y$

Sabendo que: $y = \dfrac{x^2}{2}$:

$60 =2 \cdot x^2+ 2 \cdot x \cdot \dfrac{x^2}{2}-4 \cdot \dfrac{x^2}{2}$

$60 =2 \cdot x^2+ x^3-2 \cdot x^2$

$60 =x^3$

$x = \sqrt[3]{60}$

Agora, a razão entre x e y será:

$\dfrac{x}{y} = \dfrac{x}{\left(\dfrac{x^2}{2}\right)} = \dfrac{2}{x} = \dfrac{2}{\sqrt[3]{60}}$

Sabendo que: $2 = \sqrt[3]{8}$:

$\dfrac{x}{y} = \dfrac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{60}} = \sqrt[3]{\dfrac{8}{60}}$

Simplificando por 4:

$\boxed{\dfrac{x}{y} = \sqrt[3]{\dfrac{2}{15}}}$

Agora, caso queira resolver por função da reta:

Seja o canto inferior direito do primeiro quadrado (lado 15) a origem (X=0,Y=0). Usarei maiúscula para denominar coordenadas e minúsculas para denominar as incógnitas.

Assim, formamos quatro pares de pontos pertencentes à reta t: (0,15), (y,y), (x+y,x) e (x+y+2,2)[/tex]

A equação da reta pode ser escrita como:

$Y = a \cdot X + b$

Onde a é o coeficiente angular (inclinação) e b é o coeficiente linear (translação). Assim, se substituirmos o primeiro ponto na equação da reta:

$15 = a \cdot 0 + b$

$b = 15$

Substituindo o segundo ponto e sendo b = 15:

$y = a \cdot y + 15$

$a \cdot y = y - 15$

$a = \dfrac{y-15}{y}$

Ok, agora o terceiro ponto e a em função de y:

$x = \dfrac{y-15}{y} \cdot (x + y) + 15$

$x = \dfrac{x \cdot y +y^2-15 \cdot x-15 \cdot y}{y} + 15$

$x - 15= \dfrac{x \cdot y +y^2-15 \cdot x-15 \cdot y}{y}$

$(x-15) \cdot y= x \cdot y +y^2-15 \cdot x-15 \cdot y$

$x \cdot y- 15 \cdot y= x \cdot y +y^2-15 \cdot x-15 \cdot y$

Alguns termos se anulam:

$0=y^2 - 15 \cdot x$

$y^2 = 15 \cdot x$

Agora, substituindo o quarto e último ponto:

$2 = \dfrac{y-15}{y} \cdot (x+y+2) + 15$

$2-15 = \dfrac{x \cdot y + y^2 + 2 \cdot y - 15 \cdot x - 15 \cdot y - 30}{y}$

$(2 - 15) \cdot y = x \cdot y + y^2 + 2 \cdot y - 15 \cdot x - 15 \cdot y - 30$

$2\cdot y - 15 \cdot y = x \cdot y + y^2 + 2 \cdot y - 15 \cdot x - 15 \cdot y - 30$

Alguns termos se anulam:

$0= x \cdot y + y^2 - 15 \cdot x- 30$

Sabendo que: $y^2 = 15 \cdot x$ e $y = \sqrt{15} \cdot \sqrt{x}$:

$30 = x \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{x} + 15 \cdot x- 15 \cdot x$

$30 = x \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{x}$

Elevando ao quadrado dos dois lados:

$30^2 = x^2 \cdot 15 \cdot x$

$\dfrac{30^2}{15} = x^3$

$x^3 = 60$

$x = \sqrt[3]{60}$

Assim, a razão entre x e y será:

$\dfrac{x}{y} = \dfrac{x}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{x}} = \sqrt{\dfrac{x^2}{15 \cdot x} = \sqrt{\dfrac{x}{15}}$

$= \sqrt{\dfrac{\sqrt[3]{60}}{15}} = \sqrt{\dfrac{4 \cdot \sqrt[3]{60}}{\sqrt[3]{60}^3}}= \sqrt{\dfrac{2^2}{\sqrt[3]{60}^2}} = \sqrt{\left(\dfrac{2}{\sqrt[3]{60}}\right)^2}$

Finalmente:

$\dfrac{x}{y} = \dfrac{2}{\sqrt[3]{60}} \sqrt[3]{\dfrac{2}{15}}$