Question

Alguém conhece alguma técnica para transformar√(4+2√2) numa soma de radicais simples?

Answer 1

Olá Rebeca!

Resposta:

Uma vez que $\displaystyle \mathtt{4^2 - 2^2 \cdot 2}$ não é um quadrado perfeito, penso que não seja possível fazer essa transformação!

Explicação passo-a-passo:

O tema em questão é Radical Duplo! Tem um fórmula que permite escrever esse radical duplo como soma de dois radicais simples. Como tenho dificuldades, e, não gosto muito de memorizar fórmulas, tentarei explicar...

O enunciado pede que transformemos $\displaystyle \mathtt{\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}}$ numa soma de dois radicais, desse modo, considere $\displaystyle \mathtt{\sqrt{a}}$ e $\displaystyle \mathtt{\sqrt{b}}$ tais radicais. Assim,

$\displaystyle \boxed{\mathtt{\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}}}$

Desenvolvendo,

$\\ \displaystyle \mathsf{\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}} \\\\ \mathsf{\left ( \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \right )^2 = \left ( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right )^2} \\\\ \mathsf{4 + 2\sqrt{2} = a + 2\sqrt{ab} + b} \\\\ \mathsf{4 + 2\sqrt{2} = (a + b) + 2\sqrt{ab}}$

Comparando cada lado da igualdade, tiramos que:

$\begin{cases} \mathtt{4 = a + b} \\ \mathtt{2 = ab}\end{cases}$

Note que a e b podem ser considerados como sendo as raízes de uma equação, onde sua soma e seu produto são conhecidos (no sistema acima)!

Assim, temos a equação abaixo, veja:

$\\ \mathtt{x^2 - Sx + P = 0} \\\\ \Rightarrow \boxed{\displaystyle \mathtt{x^2 - 4x + 2 = 0}}$

Resolvendo a equação...

$\\ \displaystyle \mathsf{x^2 - 4x + 2 = 0} \\\\ \mathsf{\Delta = (- 4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8} \\\\ \mathsf{x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}} \\\\ \boxed{\mathsf{x_1 = 2 + \sqrt{2}}} \\ \boxed{\mathsf{x_2 = 2 - \sqrt{2}}}$

Daí,

$\\ \displaystyle \mathsf{\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \ = \sqrt{a} + \sqrt{b}} \\\\ \mathsf{\qquad \qquad \ \ \ \ = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\sqrt{4 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}}}$

A princípio, parece-me não ser possível fazer essa transformação! De qualquer modo, deixarei essa resposta até conseguir pensar em algo novo ou obter algum comentário (até mesmo resposta) de algum usuário interessado em compartilhar seus saberes conosco!!